[论文解读] Monolithic and splitting based solution schemes for fully coupled quasi-static thermo-poroelasticity with nonlinear convective transport

Mats K. Brun, Elyes Ahmed+3 more|arXiv (Cornell University)|Feb 15, 2019

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics参考文献 37被引用 6

一句话总结

本文提出六种基于单体和分裂的迭代格式，用于求解具有对流热传输的非线性、完全耦合的准静态热-孔弹性问题。通过将三场模型扩展为五场系统，并应用固定应力分裂的L-格式线性化，作者在不同耦合强度和网格细化下均实现了鲁棒的收敛性，且稳定化显著提升了相较于非稳定化方法的鲁棒性。

ABSTRACT

This paper concerns splitting-based iterative procedures for the coupled nonlinear thermo-poroelasticity model problem. The thermo-poroelastic model problem we consider is formulated as a three-field system of PDE's, consisting of an energy balance equation, a mass balance equation and a momentum balance equation, where the primary variables are temperature, fluid pressure, and elastic displacement. Due to the presence of a nonlinear convective transport term in the energy balance equation, it is convenient to have access to both the pressure and temperature gradients. Hence, we introduce these as two additional variables and extend the original three-field model to a five-field model. For the numerical solution of this five-field formulation, we compare three approaches that differ by how we treat the coupling/decoupling between the flow and/from heat and/from mechanics; these approaches have in common a simultaneous application of the fixed-stress splitting scheme on both the non-linearity and the coupling structure of the problem. More precisely, the derived procedures transform a nonlinear and fully coupled problem into a set of simpler subproblems to be solved sequentially in an iterative fashion. We provide a convergence proof for the derived algorithms, and validate our results through several numerical examples.

研究动机与目标

• 解决涉及对流热传输的完全耦合、非线性热-孔弹性问题中热、流体和力学过程的挑战。
• 通过引入稳定化、迭代分裂框架，克服现有方法在强耦合或非线性条件下失效的局限性。
• 开发六种不同的迭代算法，涵盖热、流体和力学三个物理过程的所有可能耦合/解耦组合。
• 通过L-格式线性化和固定应力分裂，确保在强耦合和非线性对流项下仍具有收敛性和鲁棒性。
• 通过多个数值基准测试验证所提格式，证明其在不同参数范围和网格细化下的稳定性与高效性。

提出的方法

• 通过引入压力和温度梯度作为附加变量，将原始的三场热-孔弹性模型（温度、压力、位移）扩展为五场系统。
• 同时对非线性对流项和耦合结构应用固定应力分裂格式，实现子问题的顺序求解。
• 采用L-格式对能量方程中的非线性对流项进行线性化和稳定化，确保收敛性和鲁棒性。
• 将所有六种算法表述为迭代过程，通过不同耦合顺序交替求解热、流体和力学子问题。
• 基于理论分析推导出时间步长的约束条件，并证明收敛性；实际性能显示即使超出理论边界也具有鲁棒性。
• 采用混合有限元方法进行空间离散化，确保数值解中局部质量与动量守恒。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何设计迭代分裂格式，以鲁棒地处理热-孔弹性问题中由对流热传输引入的强耦合与非线性？
• RQ2 通过L-格式实现的稳定化对不同耦合强度和参数范围下分裂算法的收敛性和鲁棒性有何影响？
• RQ3 是否能通过统一的迭代框架有效实现并验证热、流体和力学三者之间所有六种可能的耦合/解耦配置？
• RQ4 在迭代次数和对参数变化的敏感性方面，稳定化算法与非稳定化算法的性能相比如何？
• RQ5 理论收敛时间步长约束在复杂、非线性的多物理场模拟中在多大程度上反映了实际性能？

主要发现

• 所有六种所提算法在不同网格细化（最高达40×40个单元）和参数范围内，包括强耦合情况下，均表现出鲁棒的收敛性和稳定性。
• 在不同网格尺寸和耦合强度下，迭代次数始终保持较低水平（12–18次），表明具有优异的可扩展性和鲁棒性。
• 通过L-格式实现的稳定化显著降低了对参数变化的敏感性：非稳定化算法在强耦合区域会失效或需要过多迭代，而稳定化版本仍保持高效。
• 在恒定热源（z = 2×10⁻⁴ W m⁻³ K⁻¹）条件下，温度场显著影响压力和位移，证实系统中存在强耦合效应。
• 理论时间步长约束被发现过于保守；实际性能在合理时间步长下仍保持稳定，即使通量受约束。
• 引入梯度变量的五场格式能更准确地处理非线性对流项，从而提升数值稳定性和解的精度。