[论文解读] Monolithic Convex Limiting for Legendre-Gauss-Lobatto Discontinuous Galerkin Spectral Element Methods

Andrés M. Rueda-Ramírez, Benjamin Bolm+2 more|arXiv (Cornell University)|Mar 1, 2023

Advanced Numerical Methods in Computational Mathematics被引用 4

一句话总结

本文提出了一种用于Legendre–Gauss–Lobatto不连续伽辽金谱元方法（LGL-DGSEM）的单体凸限制（MCL）框架，利用LGL节点固有的子单元通量结构和求和分解（SBP）性质，实现不变域保持与熵稳定性。该方法实现与时间步长无关的稳定化，从而在无需依赖时间步长的人工耗散条件下，实现对强激波、陡峭梯度及涡流主导流动的鲁棒模拟。

ABSTRACT

We extend the monolithic convex limiting (MCL) methodology to nodal discontinuous Galerkin spectral element methods (DGSEM). The use of Legendre-Gauss-Lobatto (LGL) quadrature endows collocated DGSEM space discretizations of nonlinear hyperbolic problems with properties that greatly simplify the design of invariant domain preserving high-resolution schemes. Compared to many other continuous and discontinuous Galerkin method variants, a particular advantage of the LGL spectral operator is the availability of a natural decomposition into a compatible subcell flux discretization. Representing a high-order spatial semi-discretization in terms of intermediate states, we perform flux limiting in a manner that keeps these states and the results of Runge-Kutta stages in convex invariant domains. Additionally, local bounds may be imposed on scalar quantities of interest. In contrast to limiting approaches based on predictor-corrector algorithms, our MCL procedure for LGL-DGSEM yields nonlinear flux approximations that are independent of the time-step size and can be further modified to enforce entropy stability. To demonstrate the robustness of MCL/DGSEM schemes for the compressible Euler equations, we run simulations for challenging setups featuring strong shocks, steep density gradients and vortex dominated flows.

研究动机与目标

• 将单体凸限制（MCL）扩展至使用Legendre–Gauss–Lobatto（LGL）积分的节点不连续伽辽金谱元方法。
• 利用LGL-DGSEM中固有的子单元通量分解与对角质量矩阵，简化高分辨率、不变域保持格式的设计。
• 设计一种通量限制策略，确保在Runge–Kutta各阶段中保持凸不变域，并实现对标量量的局部边界约束。
• 通过与时间步长无关的MCL基通量修正实现熵稳定性。
• 在涉及强激波、密度梯度与湍流流动的复杂双曲问题上展示方法的鲁棒性。

提出的方法

• 通过引入中间状态表示高阶空间半离散格式，实现在保持凸不变域的同时进行通量限制。
• 利用LGL-DGSEM中固有的子单元通量分解，定义无须人工重构的反扩散校正。
• 采用单体方法，将限制后的通量直接整合至残差中，避免预测-校正时间分裂格式。
• 通过约束单个通量而非通量和来实现不变域保持，确保局部与全局边界约束。
• 通过基于限制器的修正实现熵稳定性，保持半离散熵不等式。
• 在LGL-DGSEM中利用对角质量矩阵与求和分解（SBP）算子，支持熵稳定性和高阶精度。

实验结果

研究问题

• RQ1 单体凸限制能否有效扩展至LGL-DGSEM，以保持不变域与熵稳定性？
• RQ2 与传统的预测-校正FCT格式相比，LGL-DGSEM中的MCL在时间步长依赖性与耗散性方面表现如何？
• RQ3 MCL/LGL-DGSEM在包含强激波、陡峭梯度与涡流主导流动的基准问题上的性能如何？
• RQ4 在MCL框架内能否在不损害稳定性的情况下实现对标量量的局部边界约束？
• RQ5 单体格式是否能确保非线性双曲系统中与时间步长无关的稳定化？

主要发现

• MCL/LGL-DGSEM框架实现了与时间步长无关的稳定化，使在需要数值稳定化的算例中达到预期的时间收敛率。
• 该方法成功捕捉强激波、陡峭密度梯度与涡流主导流动，且无虚假振荡或域违反现象。
• 与预测-校正FCT格式相比，MCL显著降低了耗散对时间步长的依赖，改善了时间收敛行为。
• LGL节点的使用实现了自然的子单元通量分解与对角质量矩阵，简化了凸限制的实现。
• 通过MCL基通量修正实现熵稳定性，且限制策略可保持半离散熵不等式。
• 在Trixi.jl中的实现具有可复现性且公开可用，支持完整代码与结果的复现。