[论文解读] Monomial bases for free pre-Lie algebras

Mahdi Jasim Hasan Al-Kaabi|arXiv (Cornell University)|Sep 17, 2013

Advanced Topics in Algebra参考文献 11被引用 15

一句话总结

本文通过根树构造自由预李代数的单项式基，并建立树基单项式基与非平面根树的平面代表选择之间的一一对应关系。证明了单项式基与根树基之间的过渡矩阵为单峰矩阵，并通过平面树上的自由磁性代数之间的同构关系，给出了其系数的显式公式。

ABSTRACT

In this paper, we study the concept of free pre-Lie algebra generated by a (non-empty) set. We review the construction of A. Agrachev and R. Gamkrelidze of monomial bases in free pre-Lie algebras. We describe the matrix of the monomial basis vectors in terms of the rooted trees basis exhibited by F. Chapoton and M. Livernet. We also show that this matrix is unipotent and we find an explicit expression for its coefficients.

研究动机与目标

• 提供由非空集合生成的自由预李代数中单项式基的显式构造。
• 将树基单项式基表征为：其低能量项能恢复Chapoton-Livernet根树基的那些基。
• 建立树基单项式基与从平面根树到非平面根树的遗忘平面化映射的截面之间的一一对应关系。
• 通过平面树上的自由磁性代数之间的同构关系，推导出单项式基在根树基中系数的显式公式。

提出的方法

• 使用基于重复预李接枝的Agrachev-Gamkrelidze方法构造单项式基。
• 定义一个从平面根树到非平面根树的双射线性映射 $\widetilde{\Psi}_S$，其依赖于遗忘平面化投影 $\pi$ 的一个选定截面 $S$。
• 应用一个未发表的同构 $\Psi$，该同构在平面根树上的自由磁性代数之间定义，由左Butcher乘积与左接枝乘积给出。
• 在平面树基中表达同构 $\Psi$ 的系数 $c(\sigma,\tau)$，然后通过 $\widetilde{\Psi}_S$ 将其提升至非平面基。
• 推导出从单项式基到根树基的过渡系数矩阵 $[\![\beta_S(s,t)]\!]_{s,t \in \mathcal{T}_n}$。
• 证明过渡矩阵的单峰性，并利用树的递归结构提供其条目显式表达式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地构造由集合生成的自由预李代数中的单项式基？
• RQ2 单项式基与Chapoton和Livernet的根树基之间的确切关系是什么？
• RQ3 树基单项式基如何对应于非平面根树的平面代表的选择？
• RQ4 在度数 $n$ 下，单项式基与根树基之间过渡矩阵的显式形式是什么？
• RQ5 单项式基与根树基之间的过渡矩阵是否为单峰矩阵，其系数能否显式计算？

主要发现

• 树基单项式基与从平面根树到非平面根树的遗忘平面化映射 $\pi$ 的截面 $S$ 之间存在一一对应关系。
• 从任意树基单项式基到根树基的过渡矩阵 $[\![\beta_S(s,t)]\!]_{s,t \in \mathcal{T}_n}$ 为单峰矩阵。
• 系数 $\beta_S(s,t)$ 通过平面树上的自由磁性代数之间的同构 $\Psi$ 显式计算得出，该同构由Butcher乘积与接枝乘积定义。
• 证明了Agrachev-Gamkrelidze单项式基为树基，即其低能量项能恢复Chapoton-Livernet树基。
• 对于任意 $n > 0$，矩阵 $[\![\beta_S(s,t)]\!]_{s,t \in \mathcal{T}_n}$ 给出了从单项式到根树的基变换，其条目可通过平面代表显式计算。
• 该构造提供了一个完整的代数框架，通过单峰过渡矩阵将自由预李代数中的单项式基与根树基联系起来。