[论文解读] Monomial ideals and the Gorenstein liaison class of a complete intersection

Juan Migliore, Uwe Nagel|ArXiv.org|Mar 27, 2001

Commutative Algebra and Its Applications参考文献 13被引用 7

一句话总结

本文证明了Artinian单项式理想与Cohen-Macaulay Borel-fixed单项式理想属于glicci，即它们位于某个完全交的Gorenstein联络类中。通过一种将单项式理想构造为算术Cohen-Macaulay概形的提升技巧，作者表明：每一个可由算术Cohen-Macaulay概形实现的Hilbert函数，也可由glicci概形实现，从而为所有算术Cohen-Macaulay子概形在平坦形变下均为glicci提供了强有力证据。

ABSTRACT

It is well known that for a subscheme $V$ in ${\mathbb P}^{n}$ of codimension two, the conditions (1) $V$ is ACM, and (2) $V$ is "licci" (i.e. $V$ is in the liaison class of a complete intersection) are equivalent. In higher codimension, (2) implies (1) but the converse is false. For Gorenstein liaison the analog of (2) is: $(2')$ $V$ is "glicci" (i.e. $V$ is in the Gorenstein liaison class of a complete intersection). It remains true that $(2')$ implies (1) but now the converse is an important open question. Previously the authors described a mechanism for lifting monomial ideals to reduced unions of linear varieties. We show here that if the monomial ideal is Artinian then the corresponding union is glicci. As a consequence, any Hilbert function that occurs among ACM schemes in fact occurs among glicci schemes. This is not true if we restrict to complete intersection links. We also show that any Cohen-Macaulay Borel-fixed monomial ideal is glicci. As a consequence, all ACM subschemes of projective space are glicci up to flat deformation.

研究动机与目标

• 研究项目空间中所有算术Cohen-Macaulay（ACM）子概形是否均属于完全交的Gorenstein联络类（glicci）。
• 将Gaeta关于licci概形的定理推广至更广泛的Gorenstein联络设定。
• 证明每一个可由ACM概形实现的Hilbert函数，亦可由glicci概形实现。
• 表明每个ACM子概形均存在一个平坦形变，使其成为glicci概形，从而在形变意义下对问题1.1给出了肯定回答。

提出的方法

• 通过使用线性形式构成的提升矩阵，采用t-提升构造，将Artinian单项式理想提升为具有非退化、约化、算术Cohen-Macaulay的线性子概形并集的饱和理想。
• 通过超平面截面与G-双联络的递归联络过程，证明所提升的理想属于glicci。
• 应用一般初始理想与Borel-fixed理想理论，表明每个ACM概形均可形变为glicci概形。
• 利用单项式理想在子环上的Hilbert函数分解，指导提升与联络过程。
• 通过提升lex-段理想并验证所得概形为glicci，构造出具有预定h-向量的glicci概形显式例子。
• 依赖于Borel-fixed单项式理想为一般初始理想这一事实，因此定义了原始ACM概形的平坦形变。

实验结果

研究问题

• RQ1 所有项目空间中的算术Cohen-Macaulay子概形在平坦形变下是否均为glicci？
• RQ2 每一个可由算术Cohen-Macaulay概形实现的Hilbert函数是否亦可由glicci概形实现？
• RQ3 每个Cohen-Macaulay Borel-fixed单项式理想是否均为glicci？
• RQ4 用于Artinian单项式理想的提升与联络技巧是否可推广至非Artinian情形？
• RQ5 glicci性质是否可对所有单项式理想成立，而不仅限于Borel-fixed类型？

主要发现

• 对于给定O-sequence Hilbert函数的非退化算术Cohen-Macaulay约化线性子概形并集，其均为glicci，表明所有此类Hilbert函数均出现在glicci概形中。
• 任何Artinian单项式理想均可被提升为glicci理想，意味着其对应的线性子概形并集位于完全交的Gorenstein联络类中。
• 所有Cohen-Macaulay Borel-fixed单项式理想均为glicci，这意味着每个算术Cohen-Macaulay子概形均存在一个平坦形变使其成为glicci概形。
• 该提升构造确保所得概形为约化、算术Cohen-Macaulay且glicci，即使原始理想非Artinian亦成立。
• 该方法可构造出具有预定h-向量（如P^3中(1,3,6,10,4,2)）的glicci概形，此类结果通过完全交联络难以获得。
• 证明表明：对于每一个可由ACM概形实现的Hilbert函数，均存在glicci概形实现该函数，而此性质通常不适用于licci概形。