[论文解读] Monotone Classes Beyond VNP

Prerona Chatterjee, Kshitij Gajjar+1 more|arXiv (Cornell University)|Feb 26, 2022

Formal Methods in Verification被引用 1

一句话总结

本文引入了 mVPSPACE，即通过 Poizat 的刻画定义的 VPSPACE 的单调类比，其被证明比 mVNP 强大指数级，并且在关键代数运算下封闭。该研究证明，此前已知对单调 VNP 难的透明多项式，在 mVPSPACE 下依然困难，揭示了超越 VNP 的稳健单调复杂度层级。

ABSTRACT

In this work, we study the natural monotone analogues of various equivalent definitions of VPSPACE: a well studied class (Poizat 2008, Koiran & Perifel 2009, Malod 2011, Mahajan & Rao 2013) that is believed to be larger than VNP. We observe that these monotone analogues are not equivalent unlike their non-monotone counterparts, and propose monotone VPSPACE (mVPSPACE) to be defined as the monotone analogue of Poizat’s definition. With this definition, mVPSPACE turns out to be exponentially stronger than mVNP and also satisfies several desirable closure properties that the other analogues may not. Our initial goal was to understand the monotone complexity of transparent polynomials, a concept that was recently introduced by Hrubeš & Yehudayoff (2021). In that context, we show that transparent polynomials of large sparsity are hard for the monotone analogues of all the known definitions of VPSPACE, except for the one due to Poizat.

研究动机与目标

• 理解最近引入的具有结构化超支持的多项式类——透明多项式的单调复杂度。
• 探索 VPSPACE 多个等价定义的单调类比，并评估其相对计算能力。
• 识别一个稳健且行为良好的 mVPSPACE 单调类比，满足理想的封闭性质。
• 研究单调电路类与其量化扩展之间的分离，特别是在永久多项式和透明多项式的情境下。

提出的方法

• 通过 Poizat 的定义，将 mVPSPACE 定义为 VPSPACE 的单调类比，其涉及带有投影门的单调电路。
• 利用多项式的超支持结构和单调性，分析求和、乘积和投影等运算如何影响单项式集合。
• 证明带有投影门的单调电路可保持不可约多项式（如永久多项式）的超支持，利用引理 7.5。
• 应用门复制技术，证明 mVPSPACE 在齐次化下封闭，通过为每个门构造 k+1 个副本以计算齐次分量。
• 通过将问题归约到已知的永久多项式在单调代数电路下的指数级下界，建立下界。
• 利用单调电路无法抵消项的事实，说明由此类电路计算的多项式的超支持在单调运算下保持不变。

实验结果

研究问题

• RQ1 不同 VPSPACE 定义的自然单调类比在能力上是否等价？
• RQ2 mVPSPACE 是否能以一种既稳健又在齐次化等基本代数运算下封闭的方式定义？
• RQ3 透明多项式对 mVPSPACE 是否困难，这是否意味着其下界强于对 mVNP 的下界？
• RQ4 用于单调 VNP 下界的技巧是否可扩展至 mVPSPACE，特别是针对稀疏支持的多项式？
• RQ5 是否存在 mVNP 与量化单调电路之间的分离？此类分离对单调复杂度意味着什么？

主要发现

• 不同 VPSPACE 定义的单调类比并不等价，其中通过 Poizat 方法定义的 mVPSPACE 比 mVNP 强大指数级。
• mVPSPACE 在齐次化下封闭，且 mVPSPACE 中多项式的齐次化版本可由大小为 O(k²·s) 的带有投影门的单调电路计算，其中 k 为次数。
• 永久多项式 Permn 要求大小为 O(n³) 的带有投影门的单调电路，但任何计算它的量化单调电路必须具有 2Ω(n) 的大小。
• 大稀疏度的透明多项式对除 Poizat 方法定义的 mVPSPACE 外的所有 VPSPACE 单调类比均困难，表明 mVPSPACE 捕获了一个更自然的单调复杂度类。
• 由带有投影门的电路计算的单调多项式的超支持在单调运算下保持不变，这使得可从已知结果转移下界。
• mVPSPACE 严格强于 mVNP，此类分离可能产生对 mVNP 困难的新布尔函数，即使在超立方体上亦然。