[论文解读] Monotone Lagrangian submanifolds of $\mathbb{C}^n$ and toric topology

Vardan Oganesyan|arXiv (Cornell University)|Dec 12, 2018

Geometric and Algebraic Topology参考文献 24被引用 4

一句话总结

本文建立了 $\mathbb{C}^n$ 中单调拉格朗日子流形与法诺 Delzant 多面体之间的精确对应关系，证明了相应的拉格朗日子流形是单调的，当且仅当该多面体是法诺的。通过纤维丛构造新的单调拉格朗日子流形族，其纤维为 $S^k \times S^l$ 或球面积的连通和，计算其最小 Maslov 数，并证明即使在微分同胚类相同的情况下，仍存在不同的拉格朗日同痕类型。

ABSTRACT

Mironov, Panov and Kotelskiy studied Hamiltonian-minimal Lagrangians inside $\mathbb{C}^n$. They associated a closed embedded Lagrangian $L$ to each Delzant polytope $P$. In this paper we develop their ideas and prove that $L$ is monotone if and only if the polytope $P$ is Fano. In some examples, we further compute the minimal Maslov numbers. Namely, let $\mathcal{N} o T^k$ be some fibration over the $k$-dimensional torus with a fiber equal to either $S^k imes S^l$, or $S^k imes S^l imes S^m$, or $\#_5(S^{2p-1} imes S^{n-2p-2})$. We construct monotone Lagrangian embeddings $\mathcal{N} \subset \mathbb{C}^n$ with different minimal Maslov number, and therefore distinct up to Lagrangian isotopy. Moreover, we show that some of our embeddings are smoothly isotopic but not Lagrangian isotopic.

研究动机与目标

• 确定与 $\mathbb{C}^n$ 中 Delzant 多面体相关联的拉格朗日子流形为单调的精确条件。
• 利用实 moment-angle 流形与典型拓扑方法构造新的单调拉格朗日嵌入示例。
• 计算这些拉格朗日子流形的最小 Maslov 数，并利用其区分拉格朗日同痕类型。
• 研究在单调拉格朗日子流形背景下，微分同痕与拉格朗日同痕之间的区别。
• 证明在 $\mathbb{C}^n$ 中存在微分同痕但非拉格朗日同痕的嵌入。

提出的方法

• 通过 $\mathbb{C}^n$ 中二次曲面的交集构造哈密顿极小拉格朗日子流形。
• 应用典型拓扑技术描述与多面体相关联的实 moment-angle 流形的拓扑结构。
• 利用公式 $\mu(r_i) = \frac{1}{2}\mu(e_i)$ 表示同调中的循环，通过辛面积与 Maslov 类刻画单调性。
• 通过多面体法向量导出的某些整数的最大公因数计算最小 Maslov 数 $N_L$。
• 使用 Haefliger-Hirsch 的微分同痕分类方法比较微分同痕与拉格朗日同痕类型。
• 分析对偶格点在纤维上的作用，以确定可定向性，从而确定全空间的微分同胚类型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{C}^n$ 中，与 Delzant 多面体相关联的拉格朗日子流形何时是单调的？
• RQ2 此类拉格朗日子流形的最小 Maslov 数是多少？其如何随多面体的组合类型变化？
• RQ3 两个相同光滑流形在 $\mathbb{C}^n$ 中的拉格朗日嵌入是否可能微分同痕但非拉格朗日同痕？
• RQ4 纤维丛结构的拓扑与辛不变量如何影响拉格朗日同痕类？
• RQ5 法诺条件在确保相关拉格朗日子流形单调性方面起什么作用？

主要发现

• 与 $\mathbb{C}^n$ 中 Delzant 多面体 $P$ 相关联的拉格朗日子流形 $L \subset \mathbb{C}^n$ 是单调的，当且仅当 $P$ 是法诺的。
• 对于纤维化在 $T^2$ 上、纤维为 $S^{p-1} \times S^{n-p-1}$ 的拉格朗日子流形族 $L_k$，其最小 Maslov 数为 $N_{L_k} = \gcd(p, n-p+k)$。
• 与法诺六边形相关联的拉格朗日子流形 $\mathcal{N} = S_{17} \times_{D_\Gamma} T^4 \to T^4$ 在 $\mathbb{C}^6$ 中是单调的，且其最小 Maslov 数为 $N_L = 1$。
• 对于一类五边形多面体，其在 $\mathbb{C}^5$ 中对应的浸入拉格朗日子流形的最小 Maslov 数为 $N_L = k$，其中 $k$ 为偶数，且这些流形是单调的。
• 当 $k$ 为偶数时，全空间的微分同胚类型保持不变，但 Maslov 类随 $k$ 变化，从而产生无穷多个非拉格朗日同痕的嵌入。
• 存在某些光滑流形在 $\mathbb{C}^n$ 中的微分同痕类，其中包含多个非拉格朗日同痕的单调拉格朗日子流形，揭示了一种类刚性现象。