[论文解读] Monotones in General Resource Theories

Tomáš Gonda, Robert W. Spekkens|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2019

Distributed systems and fault tolerance被引用 7

一句话总结

本文提出了一种通用框架，用于在资源理论中构造单调量——即量化资源丰富度的函数——通过将资源预序映射到辅助预序，使得单调量的定义更加简便。该框架统一并推广了已知的构造方法，如鲁棒性和权重度量，表明它们自然地源自2-和3-收缩构造，并提供了一种系统化、抽象的方法，适用于各种物理和信息论资源理论。

ABSTRACT

A central problem in the study of resource theories is to find functions that are nonincreasing under resource conversions - termed monotones - in order to quantify resourcefulness. Various constructions of monotones appear in many different concrete resource theories. How general are these constructions? What are the necessary conditions on a resource theory for a given construction to be applicable? To answer these questions, we introduce a broad scheme for constructing monotones. It involves finding an order-preserving map from the preorder of resources of interest to a distinct preorder for which nontrivial monotones are previously known or can be more easily constructed; these monotones are then pulled back through the map. In one of the two main classes we study, the preorder of resources is mapped to a preorder of sets of resources, where the order relation is set inclusion, such that monotones can be defined via maximizing or minimizing the value of a function within these sets. In the other class, the preorder of resources is mapped to a preorder of tuples of resources, and one pulls back monotones that measure the amount of distinguishability of the different elements of the tuple (hence its information content). Monotones based on contractions arise naturally in the latter class, and, more surprisingly, so do weight and robustness measures. In addition to capturing many standard monotone constructions, our scheme also suggests significant generalizations of these. In order to properly capture the breadth of applicability of our results, we present them within a novel abstract framework for resource theories in which the notion of composition is independent of the types of the resources involved (i.e., whether they are states, channels, combs, etc.).

研究动机与目标

• 开发一种通用、抽象的资源理论单调量构造框架，独立于资源的具体类型（例如，态、通道、组合）。
• 确定标准单调量构造（如鲁棒性、权重和收益/成本度量）在不同资源理论中有效的必要条件。
• 通过基于保序映射和收缩的统一数学方案，将看似不同的单调量构造统一起来。
• 证明鲁棒性和权重度量自然地源自3-收缩构造，从而解决了关于其基础起源的长期疑问。
• 将单调量构造的适用范围扩展到参考函数仅在资源子集上定义或相对于一个下闭集（下集）定义的情况。

提出的方法

• 提出一种通用方案，通过识别从资源预序到目标预序的保序映射来构造单调量，其中单调量已知或更容易定义。
• 引入两类主要构造：(1) 映射到集合包含关系下的预序，通过在集合上最大化或最小化函数来实现单调量；(2) 映射到元组预序，基于可区分性和信息内容实现单调量。
• 通过2-收缩定义单调量：$ M_f(r) = \inf\{ f(r,s) \mid s \in R_{\rm free} \} $，推广了纠缠相对熵度量。
• 引入3-收缩单调量：$ M_{f,D_1,D_2}(r) = \inf\{ f(r,s_1,s_2) \mid s_i \in D_i \} $，在特定选择 $ f $、$ D_1 $ 和 $ D_2 $ 下可恢复资源权重和鲁棒性度量。
• 将构造扩展到函数 $ f $ 仅在资源子集 $ W $ 上定义或相对于下集 $ D $ 定义的情况，从而实现广义收益和成本度量。
• 将该框架应用于抽象资源理论，其中组合操作独立于资源类型，从而在量子信息、热力学和经典资源理论中具有广泛适用性。

实验结果

研究问题

• RQ1 在何种一般条件下，标准单调量构造（如鲁棒性、权重和收益/成本度量）在不同资源理论中有效？
• RQ2 如何通过保序映射，系统地从更简单预序中的已知单调量推导出新的单调量？
• RQ3 为何鲁棒性和权重度量自然地源自3-收缩构造？其在通用框架中的基础起源是什么？
• RQ4 能否将单调量构造推广到参考函数仅在资源子集上定义或相对于下集定义的情况？
• RQ5 在涵盖量子纠缠、热力学和非经典性等多样化资源理论中，单调量构造广泛适用性的抽象结构基础是什么？

主要发现

• 该框架将已知的单调量构造（如纠缠相对熵、鲁棒性、权重）统一于基于2-和3-收缩的单一方案之下。
• 鲁棒性和权重度量被证明自然地源自3-收缩构造：$ M_{\rm rob}(r) = \inf\{ \lambda \mid \lambda s + (1-\lambda)r \in R_{\rm free}, s \in R \} $，其中 $ f(r,s_1,s_2) = \mathsf{cva}(s_2,s_1,r) $。
• 资源权重 $ M_{\rm w}(r) $ 作为 $ \inf\{ \lambda \mid r \in \lambda R + (1-\lambda) R_{\rm free} \} $ 被恢复，对应于特定3-收缩构造，其中 $ D_1 = R $，$ D_2 = R_{\rm free} $，且 $ f = \mathsf{cva} $。
• 基于在资源集合上最大化或最小化函数（通过集合包含预序）的单调量，推广了收益和成本构造，包括相对于下闭集 $ D $ 的情况。
• 该框架推广到函数 $ f $ 仅在子集 $ W $ 上定义的情况，从而实现如 $ f_W\textup{-}\mathsf{yield}(r) = \sup\{ f_W(s) \mid s \in R_{\rm free} \boxtimes r, s \in W \} $ 的构造。
• 该方法揭示了基于元组可区分性（如信息内容）的单调量等价于2-收缩构造，揭示了信息论度量与资源论度量之间的深层联系。