[论文解读] Monotonic Representations of Outerplanar Graphs as Edge Intersection Graphs of Paths on a Grid

Eranda Çela, Elisabeth Gaar|arXiv (Cornell University)|Aug 6, 2019

Advanced Graph Theory Research被引用 5

一句话总结

本文证明了每个外平面图均可通过至多两个弯折的路径实现单调边交集表示（即 $b^m(G) \leq 2$），并通过禁止诱导子图对极大外平面图和仙人掌图的单调弯折数（0、1 或 2）给出了完整刻画。结果具有构造性，从而可导出生成最优表示的多项式时间算法。

ABSTRACT

In a representation of a graph $G$ as an edge intersection graph of paths on a grid (EPG) every vertex of $G$ is represented by a path on a grid and two paths share a grid edge iff the corresponding vertices are adjacent. In a monotonic EPG representation every path on the grid is ascending in both rows and columns. In a (monotonic) $B_k$-EPG representation every path on the grid has at most $k$ bends. The (monotonic) bend number $b(G)$ ($b^m(G)$) of a graph $G$ is the smallest natural number $k$ for which there exists a (monotonic) $B_k$-EPG representation of $G$. In this paper we deal with the monotonic bend number of outerplanar graphs and show that $b^m(G)\leqslant 2$ holds for every outerplanar graph $G$. Moreover, we characterize the maximal outerplanar graphs and the cacti with (monotonic) bend number equal to $0$, $1$ and $2$ in terms of forbidden induced subgraphs. As a byproduct we obtain low-degree polynomial time algorithms to construct (monotonic) EPG representations with the smallest possible number of bends for maximal outerplanar graphs and cacti.

研究动机与目标

• 确定外平面图（特别是极大外平面图和仙人掌图）的单调弯折数 $b^m(G)$。
• 利用禁止诱导子图，对这些子类中单调弯折数为 0、1 或 2 的图进行刻画。
• 开发高效算法，以构造具有最少弯折数的单调 $B_k$-EPG 表示。
• 阐明在受限图类中，单调弯折数与标准弯折数之间的关系。

提出的方法

• 采用构造性证明技术，为每个外平面图构建每条路径至多有两个弯折的单调 EPG 表示。
• 作者识别出特定的禁止诱导子图（如 $M_2$、$M_3$、$C_r$ ($r \geq 4$) 和 $S_3$），这些子图决定了单调弯折数。
• 对于极大外平面图，分类取决于是否包含 $S_3$ 作为诱导子图。
• 对于仙人掌图，弯折数与单调弯折数一致，且有界于 1，其中 $b(G) = 0$ 当且仅当图不含 $MC$；否则 $b(G) = b^m(G) = 1$。
• 算法 5.2 在 $O(n^2)$ 时间内构造仙人掌图的 $B_1^m$-EPG 表示。
• 证明基于外平面图的结构分解，以及在满足单调性约束的网格上对路径进行嵌入。

实验结果

研究问题

• RQ1 任何外平面图 $G$ 的最大单调弯折数 $b^m(G)$ 是多少？
• RQ2 哪些极大外平面图的单调弯折数为 0、1 或 2？其决定性结构特征是什么？
• RQ3 仙人掌图的单调弯折数与标准弯折数是否一致？若一致，其条件是什么？
• RQ4 能否构造高效算法，以计算这些图类的最优单调 EPG 表示？
• RQ5 在外平面图中，$b(G)$ 与 $b^m(G)$ 的最优已知上界一致，这一现象是否可推广至更广泛的图类（如树宽为 2 或平面图）？

主要发现

• 每个外平面图 $G$ 的单调弯折数 $b^m(G)$ 至多为 2，且该上界是紧的。
• 对于极大外平面图，$b^m(G) = 0$ 当且仅当 $G$ 不含诱导子图 $S_3$；否则 $b^m(G) = 2$，若 $G$ 为 $M$-自由图，则 $b(G) = 1$。
• 对于仙人掌图，$b(G) = b^m(G)$，且 $b(G) = 0$ 当且仅当 $G$ 为 $MC$-自由图；否则 $b(G) = b^m(G) = 1$。
• 本文提供了多项式时间算法，可在 $O(n^2)$ 时间内构造仙人掌图的 $B_1^m$-EPG 表示。
• 结果表明，对于极大外平面图，$B_0$ 与 $B_1^m$ 一致，即使用 $B_1^m$ 路径并未带来额外的表达能力。
• 基于禁止诱导子图，对极大外平面图和仙人掌图中弯折数为 0、1 或 2 的图的刻画是完整的。