[论文解读] Monte Carlo estimators of first-and total-orders Sobol' indices

Ivano Azzini, Thierry A. Mara+1 more|arXiv (Cornell University)|Jun 15, 2020

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 11被引用 9

一句话总结

本文提出并比较了两种用于一阶和总阶 Sobol’ 指数的蒙特卡洛估计器，采用不同的采样策略。新估计器基于一种新颖的采样设计，表现出比现有方法更优的渐近效率和更低的方差，显著提升了全局敏感性分析的准确性，且计算开销极低。

ABSTRACT

This study compares the performances of two sampling-based strategies for the simultaneous estimation of the first-and total-orders variance-based sensitivity indices (a.k.a Sobol' indices). The first strategy was introduced by [8] and is the current approach employed by practitioners. The second one was only recently introduced by the authors of the present article. They both rely on different estimators of first-and total-orders Sobol' indices. The asymp-totic normal variances of the two sets of estimators are established and their accuracies are compared theoretically and numerically. The results show that the new strategy outperforms the current one.Keywords: global sensitivity analysis, variance-based sensitivity indices, first-order Sobol' index, total-order Sobol' index, Monte Carlo estimate, asymptotic normality

研究动机与目标

• 评估并比较两种基于采样的蒙特卡洛估计器在计算一阶和总阶 Sobol’ 指数方面的性能。
• 推导并分析两种估计器的渐近正态方差，以评估其统计效率。
• 确定新提出的采样策略是否在估计精度和方差方面优于当前标准方法。
• 提供理论和数值证据，支持在全局敏感性分析中采用新估计器。

提出的方法

• 本文引入两种不同的采样策略：一种基于标准独立采样（当前实践），另一种基于一种新颖设计，可提升估计器效率。
• 利用 Delta 方法和多变量中心极限定理，推导两种估计器的渐近正态方差。
• 一阶 Sobol’ 指数通过条件期望样本方差的比值进行估计，而总阶指数则使用涉及成对模型输出的对称估计器。
• 通过估计器的联合分布和 Delta 方法，推导出渐近方差的理论表达式，考虑了各分量之间的协方差。
• 在基准函数上进行数值验证，以在不同样本大小和输入维度下比较两种估计器的实证性能。
• 结果表明，由于更高效的采样结构减少了估计器之间的相关性并改善了收敛性，新估计器具有更低的渐近方差。

实验结果

研究问题

• RQ1 新采样策略是否相比标准方法，能产生更高效的蒙特卡洛估计器用于一阶和总阶 Sobol’ 指数？
• RQ2 两种估计器的渐近方差是多少？在统计效率方面有何差异？
• RQ3 在受控条件下，两种估计器在标准基准函数上的数值表现如何？
• RQ4 新估计器是否能以更少的模型评估次数达到与当前标准方法相当的精度？

主要发现

• 新采样策略产生的估计器相比标准方法具有显著更低的渐近方差，表明其具有更高的统计效率。
• 理论分析表明，新估计器的渐近方差在所有测试配置下均保持更小，尤其在输入维度增加时更为明显。
• 数值实验确认，新估计器收敛更快，并在相同样本量下实现更低的均方误差。
• 方差减少的效果在总阶指数中最为显著，因为总阶指数通常更难准确估计。
• 新方法在高维设置下仍能保持精度，而标准估计器的性能因方差增加而下降。
• 结果表明，新估计器在实践中是全局敏感性分析中更可靠且高效的优选方案。