[论文解读] Mordell-Weil groups and Selmer groups of two types of elliptic curves

Derong Qiu, Xianke Zhang|ArXiv.org|Mar 15, 2001

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 7被引用 4

一句话总结

本文显式计算了椭圆曲线族 $ E_\sigma: y^2 = x(x + \sigma p)(x + \sigma q) $ 的 2- Selmer 群、φ-Selmer 群和 φ̂-Selmer 群，其中 $ p, q $ 为孪生素数且满足 $ q = p+2 $。基于 $ p \mod 8 $ 确定了 Mordell-Weil 秩与 Shafarevich-Tate 群的 2-主部分，表明该秩与 Shafarevich-Tate 群中 2-挠子群的维数之和为 0、1 或 2，具体取决于 $ p \mod 8 $ 的剩余类，并证明了其具有导子 $ 2^5 p q $ 的模形式性。

ABSTRACT

Consider elliptic curves $ E=E_σ: y^2 = x (x+σp) (x+σq), $ where$ σ=\pm 1, $ $p$ and $ q$ are prime numbers with $p+2=q$. (1) The Selmer groups $ S^{(2)}(E/{\mathbf{Q}}), S^{(ϕ)}(E/{\mathbf{Q})}$, and $\ S^{(\hatϕ)}(E/{\mathbf{Q})} $ are explicitly determined, e.g., $\ S^{(2)}(E_{+1}/{\mathbf{Q}})= $ $({\mathbf{Z}}/2{\mathbf{Z}})^2; $ $ ({\mathbf{Z}}/2{\mathbf{Z}})^3; $ or $ ({\mathbf{Z}}/2{\mathbf{Z}})^4 $ when $p\equiv 5; 1 $ or $3; $ or $ 7 ({\mathrm{mod}} 8)$ respectively. (2) When $p\equiv 5 (3, 5$ for $σ=-1) ({\mathrm{mod}} 8), $ it is proved that the Mordell-Weil group $ E({\mathbf{Q})} \cong $ $ {\mathbf{Z}}/2{\mathbf{Z}} \oplus{\mathbf{Z}}/2{\mathbf{Z}} $ having rank $0, $ and Shafarevich-Tate group {\CC ':} $(E/{\mathbf{Q}})[2]=0. $ (3) In any case, the sum of rank$E({\mathbf{Q})}$ and dimension of {\CC ':} $(E/{\mathbf{Q}})[2] $ is given, e.g., $0; 1; 2 $ when $p\equiv 5; 1 $ or $3; 7 ({\mathrm{mod}} 8)$ for $σ=1$. (4) The Kodaira symbol, the torsion subgroup $E(K)_{tors}$ for any number field $K$, etc. are also obtained. This paper is a revised version of ANT-0229.

研究动机与目标

• 理解由孪生素数定义的特定椭圆曲线族的 Selmer 群与 Mordell-Weil 群的结构。
• 刻画这些曲线的 Mordell-Weil 秩与 Shafarevich-Tate 群的 2-主部分。
• 确定任意数域上的扭子群与 Néron 模型的 Kodaira 型。
• 建立这些曲线的模形式性及其 L-函数的函数方程。
• 基于 $ p \mod 8 $ 提供 2-Selmer 群及相关 Selmer 群的显式分类。

提出的方法

• 通过有理点与 2-同源映射的显式下降法计算 2-Selmer 群 $ S^{(2)}(E/\mathbb{Q}) $。
• 利用同源下降技术与 2-挠结构确定 Selmer 群 $ S^{(\varphi)}(E/\mathbb{Q}) $ 与 $ S^{(\hat{\varphi})}(E/\mathbb{Q}) $。
• 通过 Néron 模型与在素数 $ \ell = 2, p, q $ 处的约化类型计算 Kodaira 符号与 Tamagawa 数。
• 从局部指数 $ f_\ell $ 推导出导子 $ N_E = 2^5 p q $，并通过 L-函数的函数方程确立模形式性。
• 利用涉及 Selmer 群与 Shafarevich-Tate 群的正合列，将 $ \cyrshape(E/\mathbb{Q})[2] $ 与秩及 Selmer 群维数联系起来。
• 通过辅助曲线 $ C' $ 上的有理点将丢番图方程的解与 $ E $ 上的点联系起来，从而实现下降论证。

实验结果

研究问题

• RQ1 椭圆曲线 $ E_\sigma: y^2 = x(x + \sigma p)(x + \sigma q) $（其中 $ p, q $ 为孪生素数）的 2-Selmer 群 $ S^{(2)}(E/\mathbb{Q}) $ 的结构是什么？
• RQ2 Mordell-Weil 群 $ E(\mathbb{Q}) $ 的秩如何依赖于 $ p \mod 8 $ 的剩余类？
• RQ3 Shafarevich-Tate 群 $ \cyrshape(E/\mathbb{Q})[2] $ 的 2-主部分的维数是多少？它与秩有何关系？
• RQ4 在素数 $ \ell = 2, p, q $ 处的 Kodaira 符号与 Tamagawa 数分别是什么？
• RQ5 这些曲线的模形式性如何在其 L-函数与函数方程中体现？

主要发现

• 当 $ p \equiv 5, 1, 3, \text{ 或 } 7 \mod 8 $ 时，$ S^{(2)}(E_{+1}/\mathbb{Q}) $ 同构于 $ (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^2 $、$ (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^3 $ 或 $ (\mathbb{Z}/2\mathbb{Z})^4 $。
• 当 $ p \equiv 5 \mod 8 $ 时，Mordell-Weil 群 $ E(\mathbb{Q}) \cong \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $，因此秩为 0，且 $ \cyrshape(E/\mathbb{Q})[2] = 0 $。
• 当 $ \sigma = 1 $ 时，$ E(\mathbb{Q}) $ 的秩与 $ \cyrshape(E/\mathbb{Q})[2] $ 的维数之和分别为 0、1 或 2，对应于 $ p \equiv 5, 1 \text{ 或 } 3, \text{ 或 } 7 \mod 8 $。
• 在 $ \ell = 2 $ 处的 Kodaira 符号为 $ III $，在 $ \ell = p, q $ 处为 $ I_2 $，各处的 Tamagawa 数均为 2。
• 椭圆曲线的导子为 $ N_E = 2^5 p q $，其 L-函数满足函数方程 $ \xi(E, 2-s) = \pm \xi(E, s) $，从而确认了模形式性。
• 在任意数域 $ K $ 上，扭子群 $ E(K)_{\text{tors}} $ 要么为 $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} $，要么为 $ \mathbb{Z}/2\mathbb{Z} \oplus \mathbb{Z}/6\mathbb{Z} $，具体取决于 3 的分歧性。