[论文解读] Mordell-Weil ranks and Tate-Shafarevich groups of elliptic curves with mixed-reduction type over cyclotomic extensions

Antonio Lei, Meng Fai Lim|arXiv (Cornell University)|Nov 24, 2019

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 33被引用 8

一句话总结

该论文建立了在数域的典型 Zp-扩张中，具有在 p 处混合约化类型的椭圆曲线的 Mordell-Weil 秩的统一有界性，并给出了 Tate-Shafarevich 群的 p-部分增长的渐近公式。通过使用带符号的 Selmer 群和 Iwasawa 理论，在假设对偶 Selmer 群具有挠性的情况下，证明了 Mordell-Weil 秩保持有界，且 Tate-Shafarevich 群的 p-主部分的增长遵循一个精确公式，该公式涉及 µ- 和 λ-不变量，推广了此前在奇异和普通情形下的结果。

ABSTRACT

Let $E$ be an elliptic curve defined over a number field $K$ where $p$ splits completely. Suppose that $E$ has good reduction at all primes above $p$. Generalizing previous works of Kobayashi and Sprung, we define multiply signed Selmer groups over the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension of a finite extension $F$ of $K$ where $p$ is unramified. Under the hypothesis that the Pontryagin duals of these Selmer groups are torsion over the corresponding Iwasawa algebra, we show that the Mordell-Weil ranks of $E$ over a subextension of the cyclotomic $\mathbb{Z}_p$-extension are bounded. Furthermore, we derive an aysmptotic formula of the growth of the $p$-parts of the Tate-Shafarevich groups of $E$ over these extensions.

研究动机与目标

• 建立在典型 Zp-扩张上具有混合约化类型的椭圆曲线的 Mordell-Weil 秩的统一有界性。
• 推导此类扩张中 Tate-Shafarevich 群的 p-部分增长的渐近公式。
• 将先前在奇异和普通情形下关于 Selmer 群增长的结果推广到混合约化情形。
• 在非普通椭圆曲线的 Iwasawa 理论背景下，发展并应用多重带符号 Selmer 群。

提出的方法

• 在数域 F 的典型 Zp-扩张上引入多重带符号 Selmer 群，其参数由在奇异素数处的选择符号决定。
• 使用 Coleman 映射和对数矩阵在奇异素数处定义局部条件，推广了 Kobayashi 和 Sprung 的工作。
• 将 Iwasawa 理论应用于带符号 Selmer 群的 Pontryagin 对偶，假设其在 Iwasawa 代数上为挠（假设 S3）。
• 利用 Kobayashi 亏格和模论技术分析上同调群与 Selmer 模的生长。
• 利用 Poitou-Tate 正合列和控制定理，将全局 Selmer 群与局部上同调及 Tate-Shafarevich 群联系起来。
• 通过带符号 Selmer 群的 µ- 和 λ- 不变量以及欧拉函数，推导出 e(Xp(E/Fn)) 增长的显式公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 p 处具有混合约化类型的数域的典型 Zp-扩张上，椭圆曲线的 Mordell-Weil 秩在何种条件下有界？
• RQ2 在混合约化情形下，Tate-Shafarevich 群的 p-主部分在典型 Zp-扩张的有限层上的增长方式如何？
• RQ3 Tate-Shafarevich 群的增长公式能否超越普通和奇异情形，推广到包含混合约化行为的情形？
• RQ4 在非普通椭圆曲线的 Iwasawa 理论中，带符号 Selmer 群在控制 Selmer 和 Tate-Shafarevich 群增长方面起什么作用？

主要发现

• 在假设 (S1)–(S3) 下，即使不假设存在 Euler 系统，E 在 Fn 上的 Mordell-Weil 秩也独立于 n 有界。
• Tate-Shafarevich 群的 p-部分的增长满足渐近公式：当 n 为奇数时，e(Xp(E/Fn)) − e(Xp(E/Fn−1)) = S(⃗σ, n) + φ(pn)µ⃗σ + λ⃗σ − r∞；当 n 为偶数时，T(⃗τ, n) + φ(pn)µ⃗τ + λ⃗τ − r∞。
• 增长公式中的向量 ⃗σ 和 ⃗τ 由 n 的奇偶性决定，并依赖于在奇异素数处的符号选择。
• 当对所有 v ∈ Σ′ss 有 av = 0 时，公式简化，且向量 ⃗σ 和 ⃗τ 分别为常向量 ⃗♭ 和 ⃗♯。
• 常数 S(⃗σ, n) 和 T(⃗τ, n) 显式给出为 p 的幂的线性组合，涉及 [Fw : Qp] 的度数以及 1/p^{2i−1} 的交错和。
• 该结果将 Kurihara、Kobayashi、Pollack 和 Sprung 的早期公式推广到了混合约化情形，统一了普通和奇异情形的增长模式。