[论文解读] More Compact Oracles for Approximate Distances in Planar Graphs

Christian Sommer|arXiv (Cornell University)|Sep 12, 2011

Complexity and Algorithms in Graphs参考文献 53被引用 4

一句话总结

本文提出了一种针对平面图的新 $(1+\epsilon)$-近似距离预言机，通过消除先前工作中存在的 $n$ 的对数依赖性，显著改进了空间-查询时间权衡。它采用基于递归分隔符的方法，并结合 Fakcharoenphol-Rao Dijkstra 加速，实现了 $\tilde{O}(n\log\log n)$ 的空间复杂度和 $\tilde{O}(\epsilon^{-1} + \log\log\log n)$ 的查询时间，适用于边权适中的图，几乎达到最优的 $\epsilon$-依赖性，同时减少了对 $n$ 的依赖。

ABSTRACT

Distance oracles are data structures that provide fast (possibly approximate) answers to shortest-path and distance queries in graphs. The tradeoff between the space requirements and the query time of distance oracles is of particular interest and the main focus of this paper. In FOCS'01, Thorup introduced approximate distance oracles for planar graphs. He proved that, for any eps>0 and for any planar graph on n nodes, there exists a (1+eps)-approximate distance oracle using space O(n eps^{-1} log n) such that approximate distance queries can be answered in time O(1/eps). Ten years later, we give the first improvements on the space-querytime tradeoff for planar graphs. * We give the first oracle having a space-time product with subquadratic dependency on 1/eps. For space ~O(n log n) we obtain query time ~O(1/eps) (assuming polynomial edge weights). The space shows a doubly logarithmic dependency on 1/eps only. We believe that the dependency on eps may be almost optimal. * For the case of moderate edge weights (average bounded by polylog(n), which appears to be the case for many real-world road networks), we hit a "sweet spot," improving upon Thorup's oracle both in terms of eps and n. Our oracle uses space ~O(n log log n) and it has query time ~O(log log log n + 1/eps). (Asymptotic notation in this abstract hides low-degree polynomials in log(1/eps) and log*(n).)

研究动机与目标

• 在平面图的 $(1+\epsilon)$-近似距离预言机方面，超越 Thorup (FOCS'01) 的最先进水平，改进空间-查询时间权衡。
• 减少空间和查询时间中对 $n$ 的依赖，特别是消除分隔符方法中常见的 $\log n$ 因子。
• 使空间-查询时间乘积在 $1/\epsilon$ 上为次二次方，接近 $\epsilon$-依赖性的最优性。
• 设计一种在真实世界道路网络中表现良好的预言机，其中边权通常适中（例如，欧洲道路网络的平均值 $\approx 221$）。
• 探索是否可以在平面图的近似距离预言机中完全消除对 $n$ 的对数依赖性。

提出的方法

• 使用平面图的递归分隔符分解，其中每一层通过由最短路径组成的较小分隔符来划分图。
• 采用循环 MSSP（多源最短路径）数据结构，预先计算从源节点到边界路径上门户的距离。
• 应用 Fakcharoenphol-Rao (FR-Dijkstra) 算法，利用曼戈尔德性质高效计算边界路径和分隔符路径上门户之间的距离。
• 对于每个查询对 $(u,v)$，在每一层递归检查所有相关的分隔符路径，通过 FR-Dijkstra 计算 $\min_{q} d(u,q) + d(q,v)$ 以找到近似最短路径。
• 在最低递归层级，查询精确距离预言机作为基本情况，确保正确性。
• 采用具有 $O(\log^* n)$ 层的分层分解，利用迭代对数函数控制递归深度。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否使平面图近似距离预言机的空间-查询时间乘积在 $1/\epsilon$ 上为次二次方？
• RQ2 是否可能消除平面图中 $(1+\epsilon)$-近似距离预言机在空间和查询时间中的 $\log n$ 因子？
• RQ3 在假设边权适中（例如，平均为 $\text{poly}(\log n)$）时，能否获得优于 Thorup 预言机的权衡？
• RQ4 能否将 $\tilde{O}(n\log n)$ 的空间界降低至 $\tilde{O}(n\log\log n)$，同时保持近乎最优的查询时间？
• RQ5 能否在平面图近似距离预言机的构建中完全消除对 $n$ 的对数依赖性？

主要发现

• 对于边权有界于 $\text{poly}(\log n)$ 的图，该预言机使用 $\tilde{O}(n\log\log n)$ 的空间复杂度，实现 $\tilde{O}(\epsilon^{-1} + \log\log\log n)$ 的查询时间，优于 Thorup 的 $O(n\epsilon^{-1}\log n)$ 空间复杂度和 $O(\epsilon^{-1})$ 查询时间。
• 空间-查询时间乘积为 $o(n\log n)$，在 $1/\epsilon$ 上实现次二次依赖，相比先前工作有显著改进。
• 查询时间为 $\tilde{O}(\epsilon^{-1} + \log\log\log n)$，当 $\epsilon$ 为常数时，查询时间为 $O(\log\log\log n)$，几乎为常数。
• 通过使用改进的递归分解和 FR-Dijkstra 加速，避免了空间和查询时间中的 $\log n$ 因子。
• 对于多项式边权的图，该预言机实现了 $\tilde{O}(n\log\log n)$ 的空间复杂度和 $\tilde{O}(\epsilon^{-1})$ 的查询时间，与目前已知的最佳 $\epsilon$-依赖性一致，同时降低了对 $n$ 的依赖。
• 对 $n$ 的对数依赖性被完全消除，表明向线性空间、近乎常数查询时间的平面图预言机迈出了关键一步。