[论文解读] More Fibonacci-Bernoulli relations with and without balancing polynomials

Robert Frontczak, Taras Goy|arXiv (Cornell University)|Jul 29, 2020

Advanced Mathematical Identities参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文建立了伯努利多项式与数、平衡多项式、卢卡斯-平衡多项式、斐波那契多项式与数之间的新型组合恒等式。通过指数生成函数与多项式恒等式，作者推导出一个涉及伯努利多项式与等差数列中斐波那契数的通用恒等式，推广了先前结果，并通过代数运算与特殊函数技巧得出新颖的闭式关系。

ABSTRACT

We continue our study on relationships between Bernoulli polynomials and balancing (Lucas-balancing) polynomials. From these polynomial relations, we deduce new combinatorial identities with Fibonacci (Lucas) and Bernoulli numbers. Moreover, we prove a special identity involving Bernoulli polynomials and Fibonacci numbers in arithmetic progression. Special cases and some corollaries will highlight interesting aspects of our findings. Our results complement and generalize these of Frontczak (2019).

研究动机与目标

• 将已知的伯努利多项式与平衡多项式之间的关系扩展，以推导新型组合恒等式。
• 建立一个通用恒等式，将伯努利多项式与等差数列中的斐波那契数联系起来。
• 利用指数生成函数与多项式递推结构，推广Frontczak（2019）的先前结果。
• 通过代数恒等式与特殊函数性质，探索伯努利多项式、斐波那契数与卢卡斯数之间的联系。
• 提供推论与特例，突出数列与正交多项式之间的结构性关系。

提出的方法

• 利用引理1中推导出的奇数索引与偶数索引的平衡多项式与卢卡斯-平衡多项式的指数生成函数。
• 应用伯努利数的生成函数恒等式 $ H(0, z) = rac{ze^z}{e^z - 1} $，以构建双变量生成函数。
• 通过相乘伯努利多项式与平衡多项式的生成函数并匹配系数，推导多项式恒等式。
• 利用双曲函数恒等式（涉及 $ ext{cosh} $ 与 $ ext{sinh} $）简化指数生成函数的乘积。
• 应用伯努利多项式的乘法定理：$ rac{1}{q} extstyleigsum_{r=0}^{q-1} B_n(x + r/q) = B_n(qx)/q^n $，以推广恒等式。
• 通过在区间上对多项式恒等式进行积分，推导出涉及下降阶乘与二项式系数的求和恒等式。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何利用平衡多项式与卢卡斯-平衡多项式的指数生成函数，推导出与伯努利多项式的新恒等式？
• RQ2 伯努利多项式与等差数列中斐波那契数之间的通用恒等式是什么？
• RQ3 能否利用伯努利多项式的乘法定理，推广伯努利多项式与斐波那契数之间的关系？
• RQ4 在复数或特殊值 $ x = iL_{2m+1}/6 $ 处求值恒等式，对推导数论恒等式有何影响？
• RQ5 下降阶乘与二项式系数如何自然地出现在生成函数恒等式高阶导数中？

主要发现

• 证明了一个通用恒等式：$ extstyleigsum_{k=0}^{n} inom{n}{k} ( extstylerac{ ext{Fibonacci}(j)}{ ext{Fibonacci}(j)} ext{Fibonacci}(j) ext{Fibonacci}(j))^{n-k} B_{n-k} B_{2k}^*(x) = 6x n (C_{2n-2}(x) - extstylerac{ ext{Fibonacci}(j)}{ ext{Fibonacci}(j)} ext{Fibonacci}(j) ext{Fibonacci}(j)) $，将伯努利多项式与平衡多项式联系起来。
• 推论4给出一个新恒等式：$ extstyleigsum_{k=0}^{n} inom{n}{k} ( extstylerac{ ext{Fibonacci}(j)}{ ext{Fibonacci}(j)} ext{Fibonacci}(j) ext{Fibonacci}(j))^{n-k} F_{2kj} B_{n-k} = rac{n}{2} F_{2j} (L_{2j(n-1)} - extstylerac{ ext{Fibonacci}(j)}{ ext{Fibonacci}(j)} ext{Fibonacci}(j) ext{Fibonacci}(j)) $，连接斐波那契数与伯努利数。
• 当 $ x = 1/2 $ 时，该恒等式推出：$ extstyleigsum_{k=0}^{n} inom{n}{k} ( extstylerac{ ext{Fibonacci}(j)}{ ext{Fibonacci}(j)} ext{Fibonacci}(j) ext{Fibonacci}(j))^{n-k} (2^{1-(n-k)} - 1) F_{jk} B_{n-k} = n ext{Fibonacci}(j) 2^{1-n} L_j^{n-1} $，将伯努利数与斐波那契数及卢卡斯数联系起来。
• 推导出一个广义恒等式：$ extstyleigsum_{k=0}^{n} inom{n}{k} ( extstylerac{ ext{Fibonacci}(j)}{ ext{Fibonacci}(j)} ext{Fibonacci}(j) ext{Fibonacci}(j))^{n-k} (q^{1-(n-k)} - 1) F_{jk} B_{n-k} = n F_j q^{1-n} extstyleigsum_{r=1}^{q-1} (r ar{ heta}^j + (q-r) ar{ heta}^j)^{n-1} $，其中 $ heta = (1+ extstylerac{ ext{Fibonacci}(j)}{ ext{Fibonacci}(j)} ext{Fibonacci}(j) ext{Fibonacci}(j))/2 $。
• 对主恒等式在 0 到 $ N+1 $ 上积分，得到求和恒等式：$ extstyleigsum_{s=0}^{N} ig( (ar{ heta}^j + extstylerac{ ext{Fibonacci}(j)}{ ext{Fibonacci}(j)} ext{Fibonacci}(j) ext{Fibonacci}(j)s)^n - (ar{ heta}^j + extstylerac{ ext{Fibonacci}(j)}{ ext{Fibonacci}(j)} ext{Fibonacci}(j) ext{Fibonacci}(j)s)^n ig) = ( extstylerac{ ext{Fibonacci}(j)}{ ext{Fibonacci}(j)} ext{Fibonacci}(j) ext{Fibonacci}(j)(N+1) + ar{ heta}^j)^n - ar{ heta}^{jn} $。
• 本文确认，Goubi 对 Frontczak 恒等式的重表述在代数上等价，澄清了该‘改进’仅为奇数伯努利数为零所导致的平凡重写。