[论文解读] More indecomposable polyhedra

Krzysztof Przesławski, David Yost|arXiv (Cornell University)|Jul 3, 2016

Computational Geometry and Mesh Generation被引用 3

一句话总结

该论文利用多面体骨架上的组合图论，对边数不超过 d² + 1/(2d) 的 d 维多面体的可分解性进行了分类。证明了在此边数范围内，仅有单纯柱体 ∆₁,ₙ₋₁ 或 4-多面体 ∆₂,₂ 是可分解的，并表明当 d ≠ 3 时，不存在具有 2d 个顶点和 d² + 1 条边的 d 维多面体。该方法依赖于不可分解的几何图以及边添加扩展，从局部图结构推断全局不可分解性。

ABSTRACT

We apply combinatorial methods to a geometric problem: the classification of polytopes, in terms of Minkowski decomposability. Various properties of skeletons of polytopes are exhibited, each sufficient to guarantee indecomposability of a significant class of polytopes. We illustrate further the power of these techniques, compared with the traditional method of examining triangular faces, with several applications. In any dimension $d eq 2$, we show that of all the polytopes with $d^2+\frac{d}{2}$ or fewer edges, only one is decomposable. In 3 dimensions, we complete the classification, in terms of decomposability, of the 260 combinatorial types of polyhedra with 15 or fewer edges.

研究动机与目标

• 对边数不超过 d² + 1/(2d) 的 d 维多面体进行 Minkowski 可分解性的分类。
• 将不可分解性的组合准则扩展至不依赖于三角形面的范围。
• 完成对边数不超过 15 的三维多面体在可分解性方面的分类。
• 证明当 d ≠ 3 时，不存在具有 2d 个顶点和 d² + 1 条边的 d 维多面体。
• 确立在边数不超过 d² + 1/(2d) 的多面体中，仅有单纯柱体 ∆₁,ₙ₋₁ 或 4-多面体 ∆₂,₂ 是可分解的。

提出的方法

• 以多面体的 1-骨架（顶点与边）构成的几何图为研究的主要对象。
• 应用分解函数 f: V → ℝᵈ 的概念，使得对每条边 [v,w]，有 f(v) − f(w) 是 v − w 的标量倍数，从而推广 Kallay 提出的图不可分解性概念。
• 使用引理 1：若 G₀ 不可分解，且 Gₙ 是通过依次添加一个顶点并连接到两个已有顶点所构成的简单扩展序列，则 Gₙ 仍保持不可分解。
• 利用如下事实：若两个不可分解的几何图共享两个顶点（但无公共边），则其并集也是不可分解的。
• 应用多面体理论中的结果，包括 Barnette 对给定面数下顶点数的边界估计以及 Grünbaum 对单形多面体的分类。
• 利用欧拉公式及边-顶点关系（d-多面体满足 2E − dV = 2）来约束可能的构型。

实验结果

研究问题

• RQ1 在边数不超过 d² + 1/(2d) 的 d 维多面体中，哪些是可分解的？
• RQ2 能否利用不可分解性的图论准则，完成对边数不超过 15 的三维多面体的分类？
• RQ3 是否存在 d ≠ 3 时具有 2d 个顶点和 d² + 1 条边的 d 维多面体？
• RQ4 是否可以在不依赖大量三角形面存在的情况下，建立不可分解性？
• RQ5 对于给定面数的简单 d-多面体，其最小顶点数和边数是多少？

主要发现

• 在所有边数不超过 d² + 1/(2d) 的 d 维多面体中，仅有单纯柱体 ∆₁,ₙ₋₁（恰好有 d² 条边）或 4-多面体 ∆₂,₂ 是可分解的。
• 当 d ≠ 3 时，不存在具有 2d 个顶点和 d² + 1 条边的 d 维多面体。
• 当 d = 3 时，唯一具有 2d = 6 个顶点和 d² + 1 = 10 条边的多面体在组合意义上等价于五边形柱体。
• 对边数不超过 15 的三维多面体的分类已完整完成：仅有一个是可分解的（即三棱柱），其余均为不可分解。
• 在具有 2d = 6 个顶点和 d² + 1 = 10 条边的三维多面体中，仅存在一种组合等价类，即五边形柱体，且这是唯一的此类例子。
• 在 [4] 目录中的第 199 个多面体（BD199）是不可分解的，因为其蓝色和红色子图（每个均为三个三角形构成的链）均不可分解，且共享两个顶点但无公共边。