[论文解读] More Morphisms between Bundle Gerbes

Konrad Waldorf|ArXiv.org|Feb 22, 2007

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 13被引用 56

一句话总结

本文通过将1-态射从可逆的稳定同构推广至包含平凡化和丛gerbe模等非可逆态射，提出了一种新的丛gerbe的2-范畴结构。通过在精炼的基空间上用高秩向量丛替代线丛，该构造实现了态射复合的严格结合律，并通过Jandl结构为闭合、带边和非定向曲面提供了统一的曲面全息定义框架。

ABSTRACT

Usually bundle gerbes are considered as objects of a 2-groupoid, whose 1-morphisms, called stable isomorphisms, are all invertible. I introduce new 1-morphisms which include stable isomorphisms, trivializations and bundle gerbe modules. They fit into the structure of a 2-category of bundle gerbes, and lead to natural definitions of surface holonomy for closed surfaces, surfaces with boundary, and unoriented closed surfaces.

研究动机与目标

• 将传统的丛gerbe 2-群胚（仅存在可逆稳定同构）扩展为包含非可逆1-态射的完整2-范畴。
• 通过用精炼基流形上的高秩向量丛替代线丛，解决稳定同构复合中的困难。
• 为平凡化、丛gerbe模和Jandl结构提供自然的范畴框架，使其作为2-范畴中的态射。
• 利用新态射结构，特别是通过Jandl结构，为闭合、带边和非定向曲面定义曲面全息。
• 统一描述2D共形场论中的背景场，特别是具有非定向世界面的I型弦理论。

提出的方法

• 将丛gerbe之间的1-态射定义为到其全空间纤维积的子覆盖映射上的向量丛，推广稳定同构概念。
• 引入与新1-态射相容的一般化2-态射结构，确保2-范畴的相干性。
• 通过公共精化上的向量丛的拉回与张量积实现1-态射的复合，确保严格结合律。
• 为2-范畴配备张量结构、对偶性和拉回，以支持范畴运算。
• 将平凡丛gerbe之间的态射分类为满足曲率条件 $\mathrm{curv}(E) = \rho_2 - \rho_1$ 的向量丛。
• 通过等变线丛和包含 $\mathrm{exp}(i\int_F \rho) \cdot \mathrm{hol}_R(\overline{\partial F})$ 的全息公式，定义基于Jandl结构的非定向曲面全息。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将丛gerbe的2-群胚扩展为包含非可逆1-态射的2-范畴？
• RQ2 何种稳定同构的推广能实现复合的严格结合律？
• RQ3 如何在2-范畴框架下自然地解释平凡化和丛gerbe模作为态射？
• RQ4 能否利用丛gerbe上的Jandl结构定义非定向曲面的一致全息概念？
• RQ5 新2-范畴中态射与关联向量丛曲率之间的关系为何？

主要发现

• 新1-态射由精炼基空间上的向量丛给出，通过拉回与张量积的复合实现严格结合律。
• 当且仅当其向量丛的秩为1时，1-态射才是可逆的，从而将稳定同构作为特例推广。
• 丛gerbe的平凡化对应于到平凡丛gerbe $\mathcal{I}_\rho$ 的1-同构，因此是2-范畴中的态射。
• 丛gerbe模被识别为到平凡丛gerbe $\mathcal{I}_\omega$ 的（不一定可逆的）1-态射。
• Jandl结构以三元组 $ (k, \mathcal{A}, \varphi) $ 的形式编码，其中 $ \mathcal{A} $ 为1-同构，$ \varphi $ 为2-同构，使其成为2-范畴的内在结构。
• 非定向曲面全息通过全息公式 $ \mathrm{hol}_{\mathcal{G},\mathcal{J}}(\hat{\phi}) = \mathrm{exp}(i\int_F \rho) \cdot \mathrm{hol}_R(\overline{\partial F}) $ 定义，且与平凡化和基本域的选择无关。