[论文解读] More on additive triples of bijections

Sean Eberhard|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2017

graph theory and CDMA systems参考文献 9被引用 7

一句话总结

本论文将先前关于双射加法三元组的研究扩展至更一般情形，针对在阶为 $ n $ 的阿贝尔群 $ G $ 上的双射集合 $ S = \{1,\dots,n\} \to G $，提供了方程 $ \pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = f $ 的解的渐近计数。其中 $ f $ 满足 $ \sum f(i) = \sum G $。通过傅里叶分析与特征和估计，作者推导出一个精确的渐近表达式，包含一个奇异级数 $ \mathfrak{S}(f) $，该级数捕捉了低碰撞微熵函数的偏差倾向，并证明当求和项数为四或更多时，和的分布趋于渐近均匀。

ABSTRACT

We study additive properties of the set $S$ of bijections (or permutations) $\{1,\dots,n\} o G$, thought of as a subset of $G^n$, where $G$ is an arbitrary abelian group of order $n$. Our main result is an asymptotic for the number of solutions to $π_1 + π_2 + π_3 = f$ with $π_1,π_2,π_3\in S$, where $f:\{1,\dots,n\} o G$ is an arbitary function satisfying $\sum_{i=1}^n f(i) = \sum G$. This extends recent work of Manners, Mrazović, and the author. Using the same method we also prove a less interesting asymptotic for solutions to $π_1 + π_2 + π_3 + π_4 = f$, and we also show that the distribution $π_1+π_2$ is close to flat in $L^2$. As in the previous paper, our method is based on Fourier analysis, and we prove our results by carefully carving up $\widehat{G}^n$ and bounding various character sums. This is most complicated when $G$ has even order, say when $G = \mathbf{F}_2^d$. At the end of the paper we explain two applications, one coming from the Latin squares literature (counting transversals in Latin hypercubes) and one from cryptography (PRP-to-PRF conversion).

研究动机与目标

• 将加法三元组 $ \pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = f $ 的渐近计数结果从奇数阶群推广至所有满足 $ \sum G = 0 $ 的阿贝尔群。
• 通过依赖于 $ f $ 的碰撞微熵的奇异级数 $ \mathfrak{S}(f) $，量化 $ \pi_1 + \pi_2 + \pi_3 $ 分布偏离均匀性的程度。
• 将分析扩展至 $ d \geq 4 $ 个求和项，证明和的分布趋于渐近均匀。
• 建立两个随机单射 $ \pi_1 + \pi_2 $ 的和在 $ L^2 $ 范数下的距离界，表明其接近均匀分布。
• 将结果应用于两个领域：拉丁超立方体中横截线的计数，以及基于XOR的PRP到PRF转换的安全性分析。

提出的方法

• 使用群 $ \widehat{G}^n $ 上的傅里叶分析，分析与双射集合 $ S $ 相关的特征和。
• 该方法涉及对 $ \widehat{G}^n $ 的精细分解及指数和的有界估计，尤其在 $ G = \mathbf{F}_2^d $ 的困难情形下。
• 奇异级数 $ \mathfrak{S}(f) = \exp\left(-\frac{1}{2n^2}\sum_{x \in G}|f^{-1}(x)|^2\right) $ 被推导为对均匀渐近计数的校正因子。
• 对于 $ d \geq 4 $，作者证明了方程 $ \pi_1 + \cdots + \pi_d = f $ 的解数满足定量界 $ \left(1 + O_d(n^{3-d})\right)n!^d / n^{n-1} $，表明其接近均匀分布。
• 推导出两个随机单射 $ \pi_1, \pi_2: \{1,\dots,m\} \to G $ 的和在 $ L^2 $ 范数下的距离界为 $ O(m/n^{3/2}) $，表明其接近均匀分布。
• 将结果应用于基于XOR的PRF构造的安全性边界分析，以及拉丁超立方体中横截线的计数。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于任意满足 $ \sum f(i) = \sum G $ 的函数 $ f: \{1,\dots,n\} \to G $，方程 $ \pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = f $ 的渐近解数是多少？
• RQ2 $ \pi_1 + \pi_2 + \pi_3 $ 的分布偏离均匀性的程度如何？碰撞微熵在其中扮演何种角色？
• RQ3 当 $ d $ 增大时，特别是 $ d \geq 4 $ 时， $ \pi_1 + \cdots + \pi_d $ 的分布如何变化？
• RQ4 两个随机双射的和 $ \pi_1 + \pi_2 $ 在 $ L^2 $ 范数下与均匀分布的接近程度如何？
• RQ5 这些加法组合结果能否用于改进基于XOR的PRP到PRF转换的安全性边界？

主要发现

• 加法 $ f $-三元组 $ \pi_1 + \pi_2 + \pi_3 = f $ 的解数渐近为 $ \left(\mathfrak{S}(f) + o(1)\right)n!^3 / n^{n-1} $，其中 $ \mathfrak{S}(f) = \exp\left(-\frac{1}{2n^2}\sum_{x \in G}|f^{-1}(x)|^2\right) $。
• 奇异级数 $ \mathfrak{S}(f) $ 在 $ f $ 为常值函数时取最小值 $ e^{-1/2} $，表明对高碰撞函数存在轻微排斥。
• 对于 $ d \geq 4 $，方程 $ \pi_1 + \cdots + \pi_d = f $ 的解数渐近为 $ \left(1 + O_d(n^{3-d})\right)n!^d / n^{n-1} $，表明其接近均匀分布。
• 两个随机单射的和 $ \pi_1 + \pi_2 $ 与均匀分布之间的 $ L^2 $-距离为 $ O(m/n^{3/2}) $（在 $ m $ 个元素上），表明其具有强集中性。
• 两个独立PRP的XOR $ \tilde{\pi}_1 + \tilde{\pi}_2 $ 构成一个PRF，其安全优势满足 $ \text{Adv}_{F}^{\text{PRF}}(m) \leq 2\text{Adv}_{E}^{\text{PRP}}(m) + O(m/2^{3d/2}) $，从而改进了安全性边界。
• 本研究通过将横截线与方程 $ \pi_1 + \cdots + \pi_d = \pi_{d+1} $ 的解数关联，为拉丁超立方体中的横截线提供了定量计数。