[论文解读] More on hedging American options under model uncertainty

David Hobson, Anthony Neuberger|arXiv (Cornell University)|Apr 8, 2016

Stochastic processes and financial applications参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文通过证明在考虑所有一致的鞅模型时，最便宜的超对冲策略成本等于模型基础上的最高价格，解决了美式期权无模型定价中的矛盾。先前研究中的差异源于Bayraktar等人局限于过窄的模型类别，而Neuberger以及Hobson & Neuberger则包含了能通过状态转换动态捕捉完整期权价值的更丰富的模型。

ABSTRACT

The purpose of this note is to reconcile two different results concerning the model-free upper bound on the price of an American option, given a set of European option prices. Neuberger (2007, `Bounds on the American option') and Hobson and Neuberger (2016, `On the value of being American') argue that the cost of the cheapest super-replicating strategy is equal to the highest model-based price, where we search over all models which price correctly the given European options. Bayraktar, Huang and Zhou (2015, `On hedging American options under model uncertainty', SIAM J. Financial Math ematics) argue that the cost of the cheapest super-replicating strategy can strictly exceed the highest model-based price. We show that the reason for the difference in conclusion is that Bayraktar et al do not search over a rich enough class of models.

研究动机与目标

• 弥合在模型不确定性下对美式期权价格上界的不同主张。
• 解决Neuberger（2007）与Bayraktar等人（2015）之间报告的模型自由上界值不同的明显矛盾。
• 阐明为何Bayraktar等人获得的超对冲成本严格高于最高模型价格。
• 证明该差异源于Bayraktar等人框架中模型类别的不充分丰富。
• 在考虑全部一致鞅模型时，建立对偶性，确保超对冲成本与最高模型价格相等。

提出的方法

• 构建一个具有指定标的资产到期时边缘分布的离散时间、离散状态的树模型。
• 将美式期权的收益定义为：当X₁=1时为1，当X₂=4时为8，否则为0，以构造一个路径依赖的头寸。
• 将超对冲成本定义为在所有情景下对冲美式期权收益所需的最小初始财富。
• 在自然滤波下，使用转移概率(p, s)参数化鞅模型，受鞅约束和边缘分布约束。
• 将模型基础上的价格计算为所有可停止时间下期望收益的上确界，通过可行的(p, s)进行最大化。
• 通过识别一种可实现等式且匹配Arrow-Debreu价格的混合模型，证明最大模型价格等于超对冲成本。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何Neuberger与Hobson & Neuberger报告超对冲成本与最高模型价格相等，而Bayraktar等人报告严格不等式？
• RQ2 为确保模型自由超对冲与最高模型价格之间对偶性，需要何种模型类别？
• RQ3 在排除状态转换动态的受限模型类别下，能否捕捉美式期权的全部价值？
• RQ4 Bayraktar等人在模型中使用自然滤波与标准过程，是否限制了在无模型设定下正确定价美式期权的能力？
• RQ5 当考虑所有一致的鞅模型时，美式期权的无模型定价中是否存在对偶间隙？

主要发现

• 超对冲成本Ψᵃ恰好为18/5 = 3.6，通过持有1股股票和4张在X₂=4时支付的Arrow-Debreu证券实现。
• 最高模型基础上的价格Φᵃ同样为18/5 = 3.6，当p=3/4且s=0或s=1/4时达到，对应极端转移概率。
• 模型基础上的价格最大值为16/5 + (1−8s)⁺/2，当s=0时在约束(p+s)/2 = 2/5下达到18/5。
• Bayraktar等人获得更高的超对冲成本，是因为他们将注意力局限于自然滤波下的模型，未允许状态过程的存在。
• 当考虑全部一致鞅模型时，等式Ψᵃ = Φᵃ成立，确认不存在对偶间隙。
• 实现最高价格的模型是极端模型的混合，证实美式期权的全部价值源于路径依赖的行权灵活性。