[论文解读] More on Jacobi metric: Randers-Finsler metrics, frame dragging and geometrisation techniques

Sumanto Chanda|arXiv (Cornell University)|Nov 14, 2019

Advanced Differential Geometry Research被引用 4

一句话总结

本文提出了两种替代Eisenhart提升的方法——雅可比提升与对称性替换，用于兰德斯-芬勒勒（RF）几何，实现了对RF引力的精确测地线重表述，无需任何近似。通过在莫培督原理中以约束替代哈密顿量，构建了雅可比-莫培督-兰德斯-芬勒勒（JMRF）度量，并证明了静止时空中的光学度量天然地属于RF度量，从而可通过雅可比提升与对称性重标度实现精确的黎曼度量提升。

ABSTRACT

In this article, I demonstrate a new method to derive Jacobi metrics from Randers-Finsler metrics by introducing a more generalised approach to Hamiltonian mechanics for such spacetimes and discuss the related applications and properties. I introduce Hamiltonian mechanics with the constraint for relativistic momentum, including a modification for null curves and two applications as exercises: derivation of a relativistic harmonic oscillator, and analysis of Schwarzschild Randers-Finsler metric. Then I describe the main application for constraint mechanics in this article: a new derivation of Jacobi metric for time-like and null curves, comparing the latter with optical metrics. After that, I discuss frame dragging with the Jacobi metric, and two applications for Randers-Finsler metrics: an alternative to Eisenhart lift, and different metrics that share the same Jacobi metric.

研究动机与目标

• 解决由于莫培督形式拉格朗日量中缺乏哈密顿量生成元，导致Eisenhart提升在兰德斯-芬勒勒几何中失效的问题。
• 通过使用约束而非哈密顿量，为RF度量建立一致的几何表述，以实现测地线重表述。
• 通过利用共形结构与基于约束的度量，提出雅可比提升作为Eisenhart提升在RF几何中的可行替代方案。
• 提出对称性替换方法，通过将循环坐标原有的对称性替换为更优的对称性，重新表述RF度量，同时保持其度量符号不变。
• 证明静止时空（如Kerr度量）中的光学度量天然地属于RF度量，并可通过雅可比度量框架实现精确提升。

提出的方法

• 将莫培督原理适配于RF拉格朗日量，其本身已是平方根作用形式，从而避免了勒让德变换的需要。
• 引入动量约束作为哈密顿量的替代品，适用于拉格朗日量已处于莫培督形式的系统，从而构建雅可比-莫培督-兰德斯-芬勒勒（JMRF）度量。
• 通过反转雅可比度量构造过程，推导出雅可比提升，即通过共形重标度将RF度量转化为黎曼度量，前提是存在共形因子。
• 将对称性替换应用于具有循环坐标的RF度量，通过将线性项吸收进平方根内的度量范数，将原对称方向替换为新方向。
• 识别出费马度量是静止时空JMRF度量的特例，表明此类时空中零测地线的光学度量为兰德斯-芬勒勒度量。
• 证明所得到的提升度量在基于Hessian的度量计算中避免了高阶近似，从而可在RF几何中实现精确的引力计算。

实验结果

研究问题

• RQ1 为何Eisenhart提升在兰德斯-芬勒勒几何中失效？其结构上的何种限制阻止了其直接应用？
• RQ2 为何动量约束可作为推导RF系统测地线方程中哈密顿量的可行替代？
• RQ3 雅可比度量表述能否推广至兰德斯-芬勒勒度量？其结果度量需满足何种条件才能保持测地等价性？
• RQ4 对称性替换在何种方式下可实现RF度量的重参数化，同时保持其几何符号与物理等价性？
• RQ5 静止时空（如Kerr度量）中的光学度量与雅可比-莫培督-兰德斯-芬勒勒框架有何关联？能否实现精确提升？

主要发现

• 由于提升后得到的约束不满足RF度量所需的几何结构，Eisenhart提升无法直接应用于兰德斯-芬勒勒几何。
• 通过使用动量约束而非哈密顿量，成功构建了雅可比-莫培督-兰德斯-芬勒勒（JMRF）度量，从而在RF系统中实现了精确的测地线重表述。
• 在存在共形因子的前提下，雅可比提升被确立为Eisenhart提升在RF几何中的有效替代方案，可实现精确的黎曼度量转换。
• 对称性替换使具有循环坐标的RF度量得以重新表达，通过将原对称方向替换为新方向，有效将线性项吸收进度量的黎曼部分。
• 静止时空（如Kerr度量）的光学度量被证明为兰德斯-芬勒勒度量，其费马度量形式被导出为JMRF度量，从而实现精确提升。
• 所提出的方法消除了在度量计算中（如拉格朗日量的Hessian）的高阶近似，使得可在兰德斯-芬勒勒时空（如Schwarzschild-Randers模型）中实现引力的精确分析。