[论文解读] More Solvable $2D$ Quantum Models from Lattice Gauge Theories

Pramod Padmanabhan, J. P. Ibieta Jimenez+2 more|arXiv (Cornell University)|Aug 11, 2014

Cold Atom Physics and Bose-Einstein Condensates被引用 2

一句话总结

本文通过在格点规范场论的转移矩阵中引入中心参数，提出了一类精确可解的二维量子模型，保持了拓扑序。所得模型推广了量子双代数和扭曲量子双代数相，具有形变的代数结构和明确定义的任意子激发，已在 $\mathbb{Z}_n$ 和 $S_3$ 群中得到验证。

ABSTRACT

Quantum double models, such as the toric code, can be constructed from transfer matrices of lattice gauge theories with discrete gauge groups and parametrized by the center of the gauge group algebra and its dual. For general choices of these parameters the transfer matrix contains operators acting on links which can also be thought of as perturbations to the quantum double model driving it out of its topological phase and destroying the exact solvability of the quantum double model. We modify these transfer matrices with perturbations and extract exactly solvable models which remain in a quantum phase, thus nullifying the effect of the perturbation. The algebra of the modified vertex and plaquette operators now obey a deformed version of the quantum double algebra. The Abelian cases are shown to be in the quantum double phase whereas the non-Abelian phases are shown to be in a modified phase of the corresponding quantum double phase. These are illustrated with the groups $\mathbb{Z}_n$ and $S_3$. The quantum phases are determined by studying the excitations of these systems namely their fusion rules and the statistics. We then go further to construct a transfer matrix which contains the other $\mathbb{Z}_2$ phase namely the double semion phase. More generally for other discrete groups these transfer matrices contain the twisted quantum double models. These transfer matrices can be thought of as being obtained by introducing extra parameters into the transfer matrix of lattice gauge theories. These parameters are central elements belonging to the tensor products of the algebra and its dual and are associated to vertices and volumes of the three dimensional lattice. As in the case of the lattice gauge theories we construct the operators creating the excitations in this case and study their braiding and fusion properties.

研究动机与目标

• 通过修改格点规范场论的转移矩阵，将精确可解的二维量子模型类扩展至标准量子双代数模型之外。
• 在原本会破坏拓扑相的微扰下，仍保持拓扑序和精确可解性。
• 通过转移矩阵中的中心参数，将量子双代数构造推广至包括扭曲量子双代数模型及其他相。
• 通过任意子激发的耦合与编织性质，表征所得量子相。
• 提供一个系统框架，利用群论参数构造具有形变量子双代数的模型。

提出的方法

• 通过引入群代数及其对偶中的中心元素，关联于三维格点中的顶点和体积，修改格点规范场论的转移矩阵。
• 构造满足形变量子双代数关系的形变顶点算符和晶胞算符，保持精确可解性。
• 利用群论参数——特别是群代数及其对偶的中心元素——定义转移矩阵中的微扰。
• 分析 $\mathbb{Z}_n$ 和 $S_3$ 的相应哈密顿量，识别出量子相，包括阿贝尔与非阿贝尔任意子统计。
• 推导产生和束缚任意子激发的算符，并利用形变代数结构计算其耦合规则与编织统计。
• 通过调节中心参数，将构造推广至包含双半子相及其他扭曲量子双代数模型。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何系统地引入对量子双代数模型的微扰，而不破坏精确可解性或拓扑序？
• RQ2 形变后的顶点算符与晶胞算符中出现的代数结构是什么？与标准量子双代数有何不同？
• RQ3 通过格点规范场论中参数化的转移矩阵，能够实现哪些超越标准量子双代数相的量子相？
• RQ4 在新模型中，任意子激发的耦合规则与拓扑统计行为如何？
• RQ5 能否通过转移矩阵中的中心参数，将双半子相及其他扭曲量子双代数模型统一于同一框架下？

主要发现

• 通过嵌入群代数及其对偶中的中心元素，修改后的转移矩阵产生精确可解的二维量子模型，即使在微扰下仍保持在拓扑相中。
• 顶点算符与晶胞算符满足量子双代数的形变版本，推广了标准任意子对易关系。
• 对于阿贝尔群如 $\mathbb{Z}_n$，所得模型处于标准量子双代数相，具有阿贝尔任意子与阿贝尔统计。
• 对于非阿贝尔群如 $S_3$，模型实现了一种与标准量子双代数不同的修正相，具有非阿贝尔耦合规则与统计。
• 双半子相成功作为广义转移矩阵框架的特例被构造，证实其包含于更广泛的模型类别中。
• 所有任意子激发，包括其耦合与编织性质，均被系统推导，并与形变代数结构保持一致。