[论文解读] Mori dream surfaces associated with curves with one place at infinity

Pinaki Mondal|arXiv (Cornell University)|Dec 8, 2013

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 10被引用 4

一句话总结

本文研究具有无穷远处一个分支的曲线所诱导的有理曲面，通过显式构造多项式近似根，证明其考克斯环有限生成——从而使其成为莫里梦想空间——并完全刻画了无穷远处的全局泽里斯与埃内克斯半群，表明在等奇点族下二者同构，从而回答了[CPRL02]中提出的问题。

ABSTRACT

We study a class of rational surfaces (considered in [Campillo, Piltant and Reguera, 2005]) associated to curves with one place at infinity and explicitly describe generators of the Cox ring and global sections of line bundles on these surfaces. In particular, we show that their Cox rings are finitely generated, i.e. they are Mori dream spaces. We also compute their "global Zariski semigroups at infinity" (consisting of line bundles which have no base points `at infinity') and "global Enriques semigroups" (generated by closures of curves in C^2). In particular, we show that the global Zariski semigroups at infinity and Enriques semigroups of surfaces corresponding to pencils which are equisingular at infinity are isomorphic, which answers a question of [Campillo, Piltant and Reguera-Lopez, 2002]. We also give an effective algorithm to determine if a (rational) surface `admits systems of numerical curvettes' (these surfaces were also considered in [Campillo, Piltant and Reguera, 2005]).

研究动机与目标

• 通过证明其考克斯环的有限生成性，确立与具有无穷远处一个分支的曲线相关的有理曲面为莫里梦想空间。
• 通过多项式近似根显式描述这些曲面上考克斯环的生成元及线丛的全局截面。
• 刻画无穷远处的全局泽里斯半群与全局埃内克斯半群，尤其通过近似根的热带生成性来表达。
• 解决[CPRL02]中关于等奇点族下无穷远处全局泽里斯与埃内克斯半群是否同构的问题。
• 提供一种有效算法，以判断有理曲面是否允许数值曲线族系统，扩展了[CPR05]的结果。

提出的方法

• 通过多项式 $f_i = F_i|_{\mathbb{C}^2}$ 的近似根构造曲面 $X_V$ 的考克斯环，并明确证明这些近似根可生成该环。
• 使用热带生成性——坐标逐项取最大值的闭包——来描述全局埃内克斯半群 $P^{st}(X_V)$，并证明近似根的集合在热带意义下生成该半群。
• 引入并分析无穷远处的全局泽里斯半群 $\tilde{P}_\infty(X_V)$，其定义为在 $\mathbb{C}^2$ 外无基点的除子集合，并以近似根的乘积形式表达。
• 应用普瓦松级数与次度分析曲线在无穷远处的行为，特别是通过一般逐次项普瓦松级数 $\tilde{\phi}(x,\xi)$ 及其共轭形式。
• 使用形式特征指数与多值性阶数研究无穷远处奇点的结构，利用 $p_j$ 与 $q_j$ 描述普瓦松展开式的加权次数。
• 使用 $c \star_r \phi$ 运算操作共轭级数，并在次度下比较次数，这对证明引理7.6中的关键不等式至关重要。

实验结果

研究问题

• RQ1 与具有无穷远处一个分支的曲线相关的有理曲面的考克斯环是否有限生成？
• RQ2 全局泽里斯半群与全局埃内克斯半群能否通过定义多项式的代数不变量显式描述？
• RQ3 若两组线族在无穷远处等奇点，其全局泽里斯半群与埃内克斯半群是否同构？
• RQ4 近似根在生成此类曲面的考克斯环与埃内克斯半群中起何作用？
• RQ5 是否存在一种有效算法，以判断有理曲面是否允许数值曲线族系统？

主要发现

• 对于 $V \in \mathcal{V}$，曲面 $X_V$ 的考克斯环是有限生成的，确认了这些曲面为莫里梦想空间。
• 全局埃内克斯半群 $P^{st}(X_V)$ 由对应于 $f_i = F_i|_{\mathbb{C}^2}$ 的近似根的除子 $D_{ij}$ 热带生成。
• 无穷远处的全局泽里斯半群 $\tilde{P}_\infty(X_V)$ 同样以近似根的乘积形式显式描述，其精确刻画见定理5.7与推论6.3。
• 对于等奇点族 $V_1, V_2 \in \mathcal{V}_1$，曲面 $X_{V_1}$ 与 $X_{V_2}$ 的全局泽里斯半群与埃内克斯半群同构，从而正面回答了[CPRL02]中的问题1.1。
• 提供了一种有效算法，以判断有理曲面是否允许数值曲线族系统，其基础为近似根的结构及其热带生成性。
• 引理7.6的证明建立了结果式次度之间的一个关键不等式，表明当 $\epsilon_1 \geq \epsilon_2$ 时，有 $\delta(g_1)/\deg_y(g_1) \geq \delta(g_2)/\deg_y(g_2)$，该不等式支撑了关于半群的主要结果。