[论文解读] Mori-Zwanzig reduced models for uncertainty quantification I: Parametric uncertainty

Panagiotis Stinis|arXiv (Cornell University)|Nov 19, 2012

Probabilistic and Robust Engineering Design参考文献 7被引用 10

一句话总结

本文提出了一种基于Mori-Zwanzig（MZ）形式化的降阶模型，用于在具有参数不确定性的时变系统中进行不确定性量化，采用多项式混沌展开。通过将记忆项重新表述为常微分方程，避免了昂贵的卷积积分，实现了通过线性稳定性准则对记忆长度进行稳定且无需参数的估计——该方法在具有不确定粘性的黏性Burgers方程上得到验证。

ABSTRACT

In many time-dependent problems of practical interest the parameters entering the equations describing the evolution of the various quantities exhibit uncertainty. One way to address the problem of how this uncertainty impacts the solution is to expand the solution using polynomial chaos expansions and obtain a system of differential equations for the evolution of the expansion coefficients. We present an application of the Mori-Zwanzig formalism to the problem of constructing reduced models of such systems of differential equations. In particular, we construct reduced models for a subset of the polynomial chaos expansion coefficients that are needed for a full description of the uncertainty caused by the uncertain parameters. We also present a Markovian reformulation of the Mori-Zwanzig reduced equation which replaces the solution of the orthogonal dynamics equation with an infinite hierarchy of ordinary differential equations. The viscous Burgers equation with uncertain viscosity parameter is used to illustrate the construction. For this example we provide a way to estimate the necessary parameters that appear in the reduced model without having to solve the full system.

研究动机与目标

• 解决具有不确定参数的时变PDE/ODE系统中高维不确定性量化的挑战。
• 为多项式混沌展开系数的子集开发一种降阶模型，以高效描述参数不确定性。
• 通过将MZ形式化中的记忆积分计算重新表述为常微分方程，克服其计算负担。
• 通过在降阶模型上施加线性稳定性约束，无需求解全系统即可估计记忆核参数。
• 在具有不确定粘性的黏性Burgers方程上验证该方法，展示其降阶动力学的稳定性和准确性。

提出的方法

• 应用多项式混沌展开，将带有不确定参数的PDE/ODE转化为一组用于展开系数的确定性ODE系统。
• 使用Mori-Zwanzig形式化，将全系统投影到一组选定的解析变量（例如，低阶多项式混沌模态）上。
• 将原始的积分微分MZ方程重新表述为记忆项的常微分方程系统，避免卷积积分。
• 通过强制降阶模型的线性稳定性来估计记忆核参数（例如，衰减时间 $t_0, t_1$），特别是要求记忆矩阵为负定。
• 以黏性Burgers方程作为测试案例：粘性不确定性导致线性和非线性记忆贡献，通过递归参数估计进行分组与稳定化。
• 当高阶项的记忆衰减时间减小时，应用短记忆近似，并通过数值一致性检验进行验证。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Mori-Zwanzig形式化适配于构建具有参数不确定性的系统的降阶模型？
• RQ2 在全系统求解不可行的情况下，是否可以无需求解全系统即可计算MZ形式化中的记忆项？
• RQ3 可用于估计降阶模型中记忆核长度与结构的标准是什么？
• RQ4 当存在线性和非线性贡献时，降阶模型的稳定性如何约束记忆参数的估计？
• RQ5 在何种情况下短记忆近似仍然有效，而在何种情况下必须随高阶项增加记忆衰减时间？

主要发现

• 重新表述后的MZ形式化将记忆积分转化为常微分方程，实现了无需求解全系统即可高效计算记忆项。
• 记忆核参数（例如，$t_0, t_1$）可通过要求记忆矩阵为负定的线性稳定性准则进行递归估计。
• 对于具有不确定粘性的黏性Burgers方程，该方法成功以较低计算成本捕捉了不确定性传播。
• 即使记忆衰减时间随高阶项减小，该方法仍能支持稳定降阶模型，支持使用短记忆近似。
• 当记忆衰减时间随阶次增加时（例如，线性衰减的ODE），该方法建议随高阶项增加 $t_0$ 以保持精度。
• 该框架可扩展至其他具有粘性耗散的方程（如Navier-Stokes方程），并可与两级模型降维结合，同时处理不确定性和物理状态。