[论文解读] Morita equivalence classes of blocks with extraspecial defect groups $p_+^{1+2}$

Jianbei An, Charles W. Eaton|arXiv (Cornell University)|Oct 3, 2023

Finite Group Theory Research被引用 5

一句话总结

该论文对素数 $p \geq 5$ 的额外特殊缺陷群 $p_+^{1+2}$ 的块的莫蒂达等价类进行了分类，证明了这些群的唐纳森猜想和阿尔佩林-麦克凯猜想。研究结果表明，此类块与特定有限群（如 $SL_2(p)$、$PSL_3(p)$ 或孤立群的扩张）的块莫蒂达等价，其依据为拟单群的分类及融合系统的分析。

ABSTRACT

We characterise the Morita equivalence classes of blocks with extraspecial defect groups $p_+^{1+2}$ for $p \geq 5$, and so show that Donovan's conjecture and the Alperin-McKay conjecture hold for such $p$-groups. For $p=3$ we reduce Donovan's conjecture for blocks with defect group $3_+^{1+2}$ to bounding the Cartan invariants for such blocks of quasisimple groups. We apply the characterisation to the case $p=5$ as an example, to list the Morita equivalence classes of such blocks.

研究动机与目标

• 对素数 $p \geq 5$ 的额外特殊缺陷群 $p_+^{1+2}$ 的所有块的莫蒂达等价类进行分类。
• 通过证明莫蒂达等价类的有限性，证明这些 $p$-群的唐纳森猜想。
• 验证当 $p \geq 5$ 时，缺陷群为 $p_+^{1+2}$ 的块的阿尔佩林-麦克凯猜想。
• 将 $p=3$ 时唐纳森猜想的证明归约为对拟单群中缺陷群为 $3_+^{1+2}$ 的块的卡坦不变量的有界性。
• 对 $p=5$ 的情形提供莫蒂达等价类的显式分类，共列出 62 个等价类。

提出的方法

• 利用有限单群分类法，分析具有 $p_+^{1+2}$ 缺陷群的拟单群的块。
• 应用文献 [5] 中关于具有额外特殊缺陷群的拟单群块的结果，以及文献 [3] 中关于具有 $C_p \times C_p$ 缺陷群且具有非内自同构的块的结果。
• 利用 $p_+^{1+2}$ 的全自同构群计算惰性商群与特征标次数，借助 GAP 及现有特征标表完成。
• 通过库尔斯汉默-普伊格不变量与融合系统数据区分莫蒂达等价类。
• 应用法拉尔与凯萨的工作关于莫蒂达-弗罗贝尼乌斯数，将 $p=3$ 时唐纳森猜想的证明归约为卡坦不变量的有界性。
• 通过比较 $k_0(B)$ 与 $k_0(b)$（其中 $b$ 为 $N_G(D)$ 中的 Brauer 对应块），利用特征标次数数据与群论不变量，验证阿尔佩林-麦克凯猜想。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于 $p \geq 5$，缺陷群为 $p_+^{1+2}$ 的块的完整莫蒂达等价类是什么？
• RQ2 当 $p \geq 5$ 时，$p_+^{1+2}$ 的唐纳森猜想是否成立？
• RQ3 当 $p \geq 5$ 时，缺陷群为 $p_+^{1+2}$ 的块的阿尔佩林-麦克凯猜想是否成立？
• RQ4 能否将 $3_+^{1+2}$ 的唐纳森猜想归约为对拟单群中缺陷群为 $3_+^{1+2}$ 的块的卡坦不变量的有界性？
• RQ5 $p=5$ 时莫蒂达等价类的显式分类是什么？

主要发现

• 对于 $p \geq 5$，所有缺陷群为 $p_+^{1+2}$ 的块均与形如 $D \rtimes \hat{E}$、$(C_p \times C_p) \rtimes H$ 或特定几乎单群（包括 $PSL_3(p)$、$PSU_3(p)$ 以及孤立群如 $Th$、$J_4$ 和 $M$）中最大缺陷群块莫蒂达等价。
• 莫蒂达等价保持了块的融合系统与库尔斯汉默-普伊格类。
• 对于 $p=5$，本文显式列出了 62 个缺陷群为 $5_+^{1+2}$ 的块的莫蒂达等价类。
• 当 $p \geq 5$ 时，阿尔佩林-麦克凯猜想对 $p_+^{1+2}$ 成立，因为每个块 $B$ 及其 Brauer 对应块 $b$ 满足 $k_0(B) = k_0(b)$。
• 对于 $p=3$，唐纳森猜想被归约为：存在一个统一的常数 $c$，使得所有缺陷群为 $3_+^{1+2}$ 的拟单群的块中，最大卡坦不变量不超过 $c$。
• 本文通过特征标次数计算与对 $p_+^{1+2}$ 的全自同构群的 GAP 基 subgroup 分析，验证了所有列出的块均满足 $k_0(B) = k_0(b)$。