[论文解读] Morita equivalence in the context of Hilbert modules

Jan Paseka|ArXiv.org|Apr 10, 2002

Advanced Operator Algebra Research参考文献 6被引用 13

一句话总结

本文通过希尔伯特模，建立了 m-正则自反量度的莫里塔等价，将经典莫里塔理论推广至非单位元代数。证明了两个交换的 m-正则自反量度当且仅当同构时是莫里塔等价的，并通过量度的中心对自然变换进行了范畴化表征，扩展了 C*-代数和量度理论的结果。

ABSTRACT

The Morita equivalence of m-regular involutive quantales in the context of the theory of Hilbert $A$-modules is presented. The corresponding fundamental representation theorems are shown. We also prove that two commutative m-regular involutive quantales are Morita equivalent if and only if they are isomorphic

研究动机与目标

• 通过希尔伯特模将莫里塔等价理论从单位元量度推广至 m-正则（非单位元）自反量度。
• 在 m-正则自反量度上的希尔伯特模背景下，建立莫里塔等价的范畴框架。
• 证明两个交换的 m-正则自反量度当且仅当同构时是莫里塔等价的。
• 将艾伦伯格-沃茨定理推广至希尔伯特模，建立保持列极限的 *-函子与右希尔伯特双模之间的联系。
• 将量度的中心表征为与其希尔伯特模范畴上的有界可伴自然变换量度的同构。

提出的方法

• 以 m-正则右希尔伯特 A-模的范畴作为定义莫里塔等价的基础结构。
• 应用艾伦伯格-沃茨定理，表明希尔伯特模范畴之间的保持列极限的 *-函子与右希尔伯特双模一一对应。
• 通过存在一个莫里塔上下文（涉及希尔伯特双模 M 和 N）来定义莫里塔等价，其中满足 M⊗_B N ≅ A 且 N⊗_A M ≅ B。
• 建立量度 A 的中心与 A-希尔伯特模范畴上所有有界可伴自然变换的量度之间的自然同构。
• 利用范畴对偶性与模范畴之间的酉等价性，证明当 A 与 B 莫里塔等价时，ANat(A) 与 ANat(B) 作为自反量度是同构的。
• 应用文献 [10] 和 [13] 的结果，扩展模同态，并构造映射到有界可伴算子代数上的唯一扩张。

实验结果

研究问题

• RQ1 在希尔伯特模的背景下，如何将莫里塔等价从单位元推广至 m-正则自反量度？
• RQ2 m-正则自反量度上的希尔伯特模的莫里塔等价在范畴上如何表征？
• RQ3 在何种条件下，两个交换的 m-正则自反量度是莫里塔等价的？
• RQ4 量度的中心与该量度的希尔伯特模范畴上所有有界可伴自然变换的量度之间有何关系？
• RQ5 艾伦伯格-沃茨定理在此设定中，在函子与双模之间建立对应关系时起什么作用？

主要发现

• 两个 m-正则自反量度当且仅当它们是莫里塔等价时，才是强莫里塔等价的，确立了这两个概念之间的强等价性。
• 两个交换的 m-正则自反量度当且仅当同构时是莫里塔等价的，表明在交换情形下，莫里塔等价退化为同构。
• 希尔伯特 A-模范畴上所有有界可伴自然变换的量度同构于 A 的中心，提供了中心的范畴表征。
• 量度 A 上的 m-正则希尔伯特模范畴可完全忠实嵌入到 A 上有界可伴算子代数的模范畴中。
• 自然变换量度 ANat(A) 同构于 A 的中心，且该同构在莫里塔等价下保持不变。
• m-正则希尔伯特模范畴之间的酉等价性诱导出相应自然变换量度 ANat(A) 与 ANat(B) 之间的量度同构。