[论文解读] Morita equivalence of pointed fusion categories of small rank

Michaël Mignard, Peter Schauenburg|arXiv (Cornell University)|Aug 22, 2017

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 14被引用 5

一句话总结

该论文利用计算群上同调与弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标，对阶在 2 到 31 之间的有限群 $G$ 的所有指向融合范畴 $\mathcal{C}(G,\omega)$ 按莫里塔等价关系进行了分类。结果表明，其德拉姆中心的模数据——特别是指标集合与带线扭量——可完全区分莫里塔等价类，即使仅靠弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标本身无法实现区分。

ABSTRACT

We classify pointed fusion categories C(G, $ω$) up to Morita equivalence for 1 < |G| < 32. Among them, the cases |G| = 2 3 , 2 4 and 3 3 are emphasized. Although the equivalence classes of such categories are not distinguished by their Frobenius-Schur indicators, their categorical Morita equivalence classes are distinguished by the set of the indicators and ribbon twists of their Drinfeld centers. In particular, the modular data are a complete invariant for the modular categories Z(C(G, $ω$)) for |G[< 32. We use the computer algebra package GAP and present codes for treating complex-valued group cohomology and calculating Frobenius-Schur indicators.

研究动机与目标

• 对所有满足 $1 < |G| < 32$ 的有限群 $G$，将指向融合范畴 $\mathcal{C}(G,\omega)$ 按莫里塔等价关系进行分类。
• 确定仅靠弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标是否足以区分此类范畴的莫里塔等价类。
• 研究德拉姆中心的模数据（指标与带线扭量）在分类莫里塔等价关系中的作用。
• 在 GAP 中实现用于复值群上同调与弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标计算的计算工具。
• 提供计算上同调类及其通过群同态的拉回的显式算法与代码。

提出的方法

• 利用指向融合范畴 $\mathcal{C}(G,\omega)$ 的莫里塔等价对应于扭曲量子双代数 $D_\omega(G)$ 的规范等价，因此也对应于其德拉姆中心 $\mathcal{Z}(\mathcal{C}(G,\omega))$ 的等价关系。
• 在 GAP 中使用群上同调计算来确定 $H^3(G, \mathbb{C}^\times)$，以分类定义范畴的 $3$-上循环 $\omega$。
• 应用一种通过同态 $H_n(K) \to \mathbb{Z}/m\mathbb{Z}$ 表示上同调类的方法，从而高效计算上同调类及其限制。
• 使用群理论范畴中高阶弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标的公式，特别适用于指向范畴及其中心。
• 通过指标与带线扭量计算 $\mathcal{Z}(\mathcal{C}(G,\omega))$ 的模数据（S 与 T 矩阵），以区分莫里塔等价类。
• 在 GAP 中实现代码，用于计算 $\mathbb{C}^\times$-值上同调、由群同态诱导的上同调群之间的同态，以及限制映射。

实验结果

研究问题

• RQ1 对于阶小于 32 的哪些群 $G$，其指向融合范畴 $\mathcal{C}(G,\omega)$ 是莫里塔等价的？
• RQ2 仅靠弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标是否足以区分指向融合范畴的莫里塔等价类？
• RQ3 德拉姆中心 $\mathcal{Z}(\mathcal{C}(G,\omega))$ 的模数据是否构成 $\mathcal{C}(G,\omega)$ 莫里塔等价关系的完整不变量？
• RQ4 如何利用计算代数系统高效计算与操作复值群上同调与弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标？
• RQ5 范畴 $\mathcal{C}(G,\omega)$ 的对偶范畴的结构如何？其与通过上同调数据关联的群理论范畴有何关系？

主要发现

• 对于所有满足 $1 < |G| < 32$ 的群 $G$，本文提供了指向融合范畴 $\mathcal{C}(G,\omega)$ 按莫里塔等价关系的完整分类。
• 仅靠弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标无法区分指向融合范畴的莫里塔等价类，因为不同的 $\omega$ 可能产生完全相同的指标序列。
• 德拉姆中心 $\mathcal{Z}(\mathcal{C}(G,\omega))$ 的弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标集合与带线扭量可完全分类莫里塔等价类。
• 当 $|G| < 32$ 时，$\mathcal{Z}(\mathcal{C}(G,\omega))$ 的模数据（S 与 T 矩阵）是 $\mathcal{C}(G,\omega)$ 莫里塔等价类的完整不变量。
• 作者实现了并发布了用于计算复值群上同调、上同调类的拉回以及指向融合范畴的弗罗贝尼乌斯-施莱尔指标的 GAP 代码。
• 分类结果表明，$|G| = 8, 16$ 与 $27$（即 $2^3, 2^4, 3^3$）的情形表现出特别丰富且非平凡的莫里塔等价结构。