[论文解读] Morita invariance of unbounded bivariant K-theory

Jens Kaad|arXiv (Cornell University)|Dec 26, 2016

Advanced Operator Algebra Research参考文献 2被引用 5

一句话总结

本文通過引入一種完全等距對合的新概念，將莫里塔等價推廣至算子 $*$-代數（即 $σ$-有限 $C^*$-代數的稠密 $*$-子代數），從而建立了無界雙變量 $K$-理論的莫里塔不變性。證明了與莫里塔等價雙模的無界卡斯帕羅夫積會在莫里塔等價代數上的扭曲譜三元組類之間誘導同構，進而透過巴傑-朱爾格有界變換，精化了卡斯帕羅夫的有界雙變量 $K$-理論。

ABSTRACT

We introduce a notion of Morita equivalence for non-selfadjoint operator algebras equipped with a completely isometric involution (operator *-algebras). We then show that the unbounded Kasparov product by a Morita equivalence bimodule induces an isomorphism between equivalence classes of twisted spectral triples over Morita equivalent operator *-algebras. This leads to a tentative definition of unbounded bivariant K-theory and we prove that this bivariant theory is related to Kasparov's bivariant K-theory via the Baaj-Julg bounded transform. Moreover, the unbounded Kasparov product provides a refinement of the usual interior Kasparov product. We illustrate our results by proving C^1-versions of well-known C^*-algebraic Morita equivalences in the context of hereditary subalgebras, conformal equivalences and crossed products by discrete groups.

研究动机与目标

• 將莫里塔等價從 $C^*$-代數推廣至非自伴算子 $*$-代數，透過引入完全等距對合的新概念。
• 利用扭曲譜三元組定義算子 $*$-代數的無界雙變量 $K$-理論。
• 證明無界卡斯帕羅夫積保持莫里塔等價，精化了有界內積。
• 在無界框架下建立經典 $C^*$-代數莫里塔等價（如遺傳子代數、共形等價、半直積）的 $C^1$-版本。
• 證明無界卡斯帕羅夫積在 $UK_*$-理論類上誘導同構，推廣了 $C^*$-代數的莫里塔不變性。

提出的方法

• 將算子 $*$-代數定義為 $B(H)$ 的閉對合子代數，其中對合運算通過酉變換共軛於希爾伯特空間上的伴隨運算。
• 透過在希爾伯特模上的表示與相容的矩陣範數，定義算子 $*$-對應關係。
• 利用算子 $*$-對應關係與扭曲譜三元組的內積張量積構造無界卡斯帕羅夫積。
• 應用巴傑-朱爾格有界變換，將無界模塊循環與有界 $KK$-理論類聯繫起來。
• 透過流形與群作用上的 $C^1$-光滑結構，構造顯式莫里塔等價，方法為半直積與商代數。
• 透過由內積誘導的完全有界雙模映射驗證莫里塔等價，並在 $C^*$-完備化後得到酉同構。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否透過合適的對合與有界性概念，將莫里塔等價從 $C^*$-代數推廣至非自伴算子 $*$-代數？
• RQ2 無界卡斯帕羅夫積是否在扭曲譜三元組類上保持莫里塔等價，即是否誘導同構？
• RQ3 無界卡斯帕羅夫積如何精化卡斯帕羅夫 $KK$-理論中的有界內積？
• RQ4 $C^1$-版本的標準 $C^*$-代數莫里塔等價（如半直積、遺傳子代數）在無界框架下是否成立？
• RQ5 能否透過卡斯帕羅夫積證明莫里塔等價算子 $*$-代數的無界雙變量 $K$-理論同構？

主要发现

• 與莫里塔等價雙模的無界卡斯帕羅夫積會在莫里塔等價算子 $*$-代數上的扭曲譜三元組類之間誘導同構。
• 透過扭曲譜三元組定義的無界雙變量 $K$-理論具有莫里塔不變性，同構由卡斯帕羅夫積誘導。
• 巴傑-朱爾格有界變換將無界卡斯帕羅夫積映射至有界內積，建立起與標準 $KK$-理論的橋樑。
• 對於具有適當、共緊致、等距群作用的 $C^1$-光滑流形，半直積代數 $C^1_0(M)\rtimes_r G$ 與 $C^1_0(M/G)$ 莫里塔等價。
• $C^1$-半直積構造產生的莫里塔等價雙模在 $C^*$-完備化後誘導出酉同構，從而確認等價性。
• 無界卡斯帕羅夫積提供了對有界內積的精化，並保持譜數據（如特徵值增長與施瓦茨類性質）。