[论文解读] Morphisms of Cartan connections

Benjamin McKay|arXiv (Cornell University)|Feb 11, 2008

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 15被引用 6

一句话总结

本文引入了Cartan联络的态射作为Cartan几何的推广，统一了已知的构造，并通过态射族建立了完备性准则。证明了解析发展可全局延拓，并将态射曲率与几何不变量联系起来，为通过形变理论和Pfaff系统研究Cartan几何提供了新框架。

ABSTRACT

We define what we call morphisms of Cartan connections. We generalize the main theorems on Cartan connections to theorems on morphisms. Many of the known constructions involving Cartan connections turn out to be examples of morphisms. We prove some basic results concerning completeness of Cartan connections. We provide a new method to prove completeness of Cartan connections using families of morphisms.

研究动机与目标

• 通过引入统一已知构造（如发展、对称性）的态射，推广Cartan几何。
• 利用态射族建立Cartan联络的完备性准则，扩展经典结果。
• 研究解析发展的全局延拓，特别是在全纯和实解析情形下。
• 探讨态射的形变理论及其曲率，将其与Ricci曲率等几何不变量联系起来。
• 提出一个猜想：在抛物几何中，沿自然子丛的正Ricci曲率与完备性相关。

提出的方法

• 将Cartan几何的态射定义为保持Cartan联络的主丛之间的光滑映射，通过拉回同构实现。
• 利用Frobenius–Gromov定理刻画由 ω₀ = ω₁ 定义的Pfaff系统之积分流形。
• 应用Hartogs型延拓定理，在复与实解析情形下将态射跨解析奇点延拓。
• 利用经典线性系统建模态射形变，并从Pfaff系统导出一阶形变方程。
• 在 E × g 上构造普遍常向量场，通过完备流分析完备性。
• 利用约化与抛物几何的结构定义经典黎曼度量，并研究曲率条件。

实验结果

研究问题

• RQ1 Cartan联络的态射如何统一现有构造（如发展、对称性、滚动结构）？
• RQ2 在何种条件下，解析Cartan几何的局部态射可全局延拓？
• RQ3 态射曲率在决定完备性或Ricci曲率等几何性质方面起什么作用？
• RQ4 能否利用态射的形变理论对有理齐次空间之间的全纯映射进行分类？
• RQ5 在抛物几何中，若沿第一层滤子的Ricci曲率为正，是否意味着Cartan联络的完备性？

主要发现

• 每个从单连通解析簇出发的实或复解析映射，若模型可在目标上自由滚动，则可全局解析地发展到一个模型几何中。
• 在发展过程中，向量丛拉回 φ₀*TM₀ 与 φ₁*TM₁ 沿着发展保持同构，保持切结构。
• Kobayashi双全纯流形上的全纯Cartan几何不可能是完备的，因为此类流形不包含有理曲线。
• Cartan几何的态射是Pfaff系统 ω₀ = ω₁ 的解，其存在性等价于该系统的积分流形。
• 提出一个猜想：若由抛物几何诱导的黎曼度量在 V₁ 上具有正Ricci曲率，则该几何是完备的。
• 普遍常向量场生成的流的完备性刻画了Cartan几何的完备性，且可通过态射族研究。