[论文解读] Morphisms of locally compact groupoids endowed with Haar systems

Mădălina Roxana Buneci, Piotr Stachura|ArXiv.org|Nov 24, 2005

Advanced Operator Algebra Research参考文献 11被引用 12

一句话总结

本文引入了具有哈尓系统的一类局部紧、σ-紧、豪斯多夫群胚的态射广义概念，并从该范畴构造了一个到C*-代数范畴的协变函子。关键贡献在于通过与这些态射相关的表示导出的范数，定义了一个C*-代数 $ C^*(\Gamma, \lambda) $，当群胚满足测度意义下的阿美尼蒂性时，该代数与全和约化的C*-代数一致。

ABSTRACT

The purpose of this paper is extend the notion of morphism of groupoids introduced by Zakrzewski to locally compact $σ$-compact groupoids endowed with Haar systems and to use the extension to construct a covariant functor from this category to a category of $C^{\ast}$-algebras in the sense of Woronowicz.

研究动机与目标

• 将扎克尔夫斯基的群胚态射概念推广至配备哈尔系统的局部紧、σ-紧、豪斯多夫群胚。
• 为每个此类群胚及其哈尔系统定义一个C*-代数 $ C^*(\Gamma, \lambda) $。
• 从这些群胚的范畴构造一个到C*-代数范畴的协变函子。
• 建立 $ C^*(\Gamma, \lambda) $ 与全和约化C*-代数一致的条件。
• 证明 $ C^*(\Gamma, \lambda) $ 上的范数满足 $ \|f\|_{\text{red}} \leq \|f\| \leq \|f\|_{\text{full}} $，在阿美尼蒂性条件下确保相等。

提出的方法

• 将从 $ (\Gamma, \lambda) $ 到 $ (G, \nu) $ 的态射定义为 $ \Gamma $ 在 $ G $ 上的一个左作用，该作用与乘法可交换，并满足与哈尔系统兼容的条件。
• 为每个态射 $ h $ 和每个单位 $ t \in G^{(0)} $ 关联一个 $ C_c(\Gamma) $ 的*-表示 $ \pi_{h,t} $。
• 对 $ f \in C_c(\Gamma) $ 定义范数 $ \|f\|_h = \sup_t \| \pi_{h,t}(f) \| $，并设 $ \|f\| = \sup_h \|f\|_h $。
• 将 $ C^*(\Gamma, \lambda) $ 定义为 $ C_c(\Gamma) $ 按此范数的完备化。
• 将态射 $ h $ 延拓为 $ C^*(\Gamma, \lambda) $ 上的*-同态 $ C^*(h) $，其值在 $ C^*(G, \nu) $ 的乘子代数中。
• 证明态射的复合对应于诱导*-同态的复合，从而确立函子性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将群胚态射的概念推广到配备哈尔系统的局部紧、σ-compact、豪斯多夫群胚？
• RQ2 与这类群胚及哈尔系统相关联的适当C*-代数构造是什么？
• RQ3 在何种条件下，所构造的C*-代数与标准的全和约化C*-代数一致？
• RQ4 所构造C*-代数上的范数与标准的约化和全范数有何关系？
• RQ5 映射 $ (\Gamma, \lambda) \mapsto C^*(\Gamma, \lambda) $ 是否为函子？

主要发现

• 所构造的范数对所有 $ f \in C_c(\Gamma) $ 满足 $ \|f\|_{\text{red}} \leq \|f\| \leq \|f\|_{\text{full}} $，在标准范数与新范数之间建立了桥梁。
• 若 $ \Gamma $ 是第二可数且测度意义下阿美尼蒂的，则 $ C^*(\Gamma, \lambda) $ 与 $ \Gamma $ 和 $ \lambda $ 关联的全和约化C*-代数一致。
• 对 $ \Gamma^{(0)} $ 上任意拟不变测度 $ \mu $，平凡表示 $ II_\mu $ 满足 $ \|II_\mu(f)\| \leq \|f\| $，确保有界性。
• 映射 $ h \mapsto C^*(h) $ 定义了一个从局部紧、σ-紧、豪斯多夫群胚（配备哈尔系统）的范畴到C*-代数范畴的协变函子。
• 态射 $ h $ 与 $ k $ 的复合诱导出*-同态的复合，满足 $ C^*(kh) = C^*(k)C^*(h) $，从而确认了函子性。
• 该构造在弱于σ-紧性假设下依然有效，例如在局部紧性与单位空间邻域的条件紧性下。