[论文解读] Morse actions of discrete groups on symmetric space

Michael Kapovich, Bernhard Leeb+1 more|arXiv (Cornell University)|Mar 29, 2014

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 36被引用 46

一句话总结

本文引入了离散群在高阶对称空间上的Morse作用，将一秩情形下的凸共 compact 性推广至高阶情形。它建立了若干几何与动力学条件之间的等价性——包括锥性、极限集处的扩张性、渐近嵌入性以及Morse性质，提供了局部到整体的原理与Morse作用的算法识别方法，并通过树的等变拟等距嵌入构造了一类新的Schottky子群。

ABSTRACT

We study the geometry and dynamics of discrete infinite covolume subgroups of higher rank semisimple Lie groups. We introduce and prove the equivalence of several conditions, capturing "rank one behavior'' of discrete subgroups of higher rank Lie groups. They are direct generalizations of rank one equivalents to convex cocompactness. We also prove that our notions are equivalent to the notion of Anosov subgroup, for which we provide a closely related, but simplified and more accessible reformulation, avoiding the geodesic flow of the group. We show moreover that the Anosov condition can be relaxed further by requiring only non-uniform unbounded expansion along the (quasi)geodesics in the group. A substantial part of the paper is devoted to the coarse geometry of these discrete subgroups. A key concept which emerges from our analysis is that of Morse quasigeodesics in higher rank symmetric spaces, generalizing the Morse property for quasigeodesics in Gromov hyperbolic spaces. It leads to the notion of Morse actions of word hyperbolic groups on symmetric spaces,i.e. actions for which the orbit maps are Morse quasiisometric embeddings, and thus provides a coarse geometric characterization for the class of subgroups considered in this paper. A basic result is a local-to-global principle for Morse quasigeodesics and actions. As an application of our techniques we show algorithmic recognizability of Morse actions and construct Morse "Schottky subgroups'' of higher rank semisimple Lie groups via arguments not based on Tits' ping-pong. Our argument is purely geometric and proceeds by constructing equivariant Morse quasiisometric embeddings of trees into higher rank symmetric spaces.

研究动机与目标

• 识别并刻画高阶半单李群中具有无限体积的‘几何上良好’的离散子群，将一秩情形下的凸共 compact 性推广至高阶情形。
• 通过引入并证明多个捕捉‘一秩行为’的条件之间的等价性，解决高阶情形下凸共 compact 性缺乏稳健推广的问题。
• 通过Morse广义测地线与Morse作用，以粗几何方式刻画此类子群，避免依赖测地流或乒乓论证。
• 通过基于局部几何条件的有限检查程序，建立Morse作用的算法可识别性。
• 通过纯粹几何的、基于树的拟等距嵌入方法，构造高阶李群中的Morse Schottky子群，绕过经典的乒乓论证。

提出的方法

• 在高阶对称空间中引入Morse广义测地线的概念，作为Gromov双曲空间中Morse性质的推广。
• 利用一系列Weyl-凸紧致子集 $\Theta_i$ 逐步穷尽模型球单纯形中某一面 $\tau_{\text{mod}}$ 的星形邻域，建立Morse广义测地线的局部到整体原理。
• 利用定理7.2中的函数 $l(\Theta, \Theta', \delta)$ 与 $\epsilon(\Theta, \Theta', \delta)$，定义广义测地线四重条件的局部控制。
• 构造递归序列 $S_i$，以确保在不同尺度下对四重条件实现统一控制，从而支持算法验证。
• 采用群 $\Gamma$ 中的离散路径及其在轨道映射 $f: \Gamma \to \Gamma x \subset X$ 下的像，检查有限长度测地线是否满足 $(\Theta_i, \epsilon_i, l_i, S_i)$-四重条件。
• 利用Morse作用与渐近嵌入子群之间的等价性，证明结构稳定性与一致正则性，推广Sullivan定理。

实验结果

研究问题

• RQ1 在高阶对称空间中，哪些条件能以保持关键几何与动力学性质的方式推广一秩情形下的凸共 compact 性？
• RQ2 如何在不依赖群测地流的前提下，重新表述离散子群的Anosov条件？
• RQ3 能否通过局部条件刻画高阶对称空间中Morse广义测地线，从而实现算法检测？
• RQ4 是否可能在不使用Tits乒乓引理的前提下，构造高阶李群中的Morse Schottky子群？
• RQ5 离散子群的轨道映射粗几何与无穷远处的动力学之间存在何种关系？

主要发现

• 在高阶对称空间中，离散子群的Morse条件与锥性、极限集处的扩张性及渐近嵌入性等价，提供了统一的刻画。
• Anosov条件被重新表述为一种简化且无需流的形态，并证明其与Morse性质等价，从而扩展了其适用范围。
• Morse广义测地线满足局部到整体原理，可通过在离散路径上进行有限检查，实现Morse作用的算法识别。
• 该算法仅在作用为Morse时终止，且对Morse作用保证终止，对非Morse作用则无限运行。
• Morse作用具有结构稳定性与一致正则性，将Sullivan的结构稳定性定理推广至高阶情形。
• 高阶李群中的Schottky子群可通过树的等变Morse拟等距嵌入方法构造，采用完全几何化的方法，独立于乒乓论证。