[论文解读] Morse homology on noncompact manifolds

Kai Cieliebak, Urs Frauenfelder|ArXiv.org|Nov 9, 2009

Geometric and Algebraic Topology参考文献 5被引用 4

一句话总结

本文在域系数下建立了非紧流形上三种Morse上同调变体之间的关系：Novikov型上同调 $HM$、直接-对合极限 $\bar{HM}$ 与逆-直接极限 $\underline{HM}$。证明了 $\bar{HM} \cong HM$ 通过同构，而典范映射 $\kappa: \bar{HM} \to \underline{HM}$ 是满射但未必是单射，从而解决了Floer理论中的一个关键问题，并厘清了非紧情形下Morse上同调的代数结构。

ABSTRACT

Given a Morse function on a manifold whose moduli spaces of gradient flow lines for each action window are compact up to breaking one gets a bidirect system of chain complexes. There are different possibilities to take limits of such a bidirect system. We discuss in this note the relation between these different limits.

研究动机与目标

• 厘清代数上同调的三种不同极限在非紧流形上的关系：$HM$、$\bar{HM}$ 与 $\underline{HM}$。
• 确定这些上同调群之间典范映射为同构、满射或单射的条件。
• 解决K. Ono提出的问题：在Floer上同调背景下，映射 $\bar{\rho}: HM \to \bar{HM}$ 是否为同构？
• 为 $HM \cong \bar{HM}$ 提供代数解释，解释为何在弱单调辛流形等情形下，此前通过直接计算已得相等结果。
• 通过反例证明 $\kappa: \bar{HM} \to \underline{HM}$ 不一定是单射，即使 $\bar{HM} \neq 0$。

提出的方法

• 作者为固定作用窗口 $[a,b]$ 定义Morse上同调 $HM^{[a,b]}_*$，假设梯度流线模空间在断裂前是紧致的。
• 他们构建了一个以作用窗口 $[a,b]$ 索引的双向系统链复形，从而形成逆极限与直极限。
• 他们定义了三个上同调群：$HM$ 通过链复形的Novikov完成，$\bar{HM} = \varinjlim_{b \to \infty} \varprojlim_{a \to -\infty} HM^b_a$，以及 $\underline{HM} = \varprojlim_{a \to -\infty} \varinjlim_{b \to \infty} HM^b_a$。
• 他们分析了典范映射 $\kappa: \bar{HM} \to \underline{HM}$、$\bar{\rho}: HM \to \bar{HM}$ 与 $\underline{\rho}: HM \to \underline{HM}$，在域系数下证明其性质。
• 他们使用一个显式反例（即不相交直线的并集 $\bigsqcup_{n=1}^\infty \mathbb{R}$）证明 $\kappa$ 不是单射，而 $\bar{HM} \neq 0$。
• 他们通过分析上同调类的结构并利用 $\mathbb{Z}$-模中的可除性论证，证明 $\bar{\rho}$ 是同构，且 $\kappa$ 是满射。

实验结果

研究问题

• RQ1 当系数为域时，典范映射 $\bar{\rho}: HM \to \bar{HM}$ 是否为同构？
• RQ2 $\bar{HM}$ 与 $\underline{HM}$ 之间的关系如何？映射 $\kappa: \bar{HM} \to \underline{HM}$ 是否为单射？
• RQ3 在非紧流形上，域系数下 $HM \cong \bar{HM}$ 是否普遍成立？
• RQ4 Morse上同调在非紧流形上的代数结构能否被公理化，以推广至有限维设定之外？
• RQ5 为何 $\kappa$ 通常不是单射？系统中的何种结构特征导致此现象？

主要发现

• 当使用域系数计算上同调时，映射 $\bar{\rho}: HM \to \bar{HM}$ 是同构，表明Novikov完成与直接-对合极限一致。
• 映射 $\kappa: \bar{HM} \to \underline{HM}$ 是满射但不一定是单射，反例显示 $\underline{HM} = 0$ 而 $\bar{HM} \neq 0$。
• 反例涉及不相交直线的并集 $\bigsqcup_{n=1}^\infty \mathbb{R}$，其Morse函数在 $f(\overline{c}_n) = n$ 与 $f(\underline{c}_n) = -n$ 处有临界点，导致 $\bar{HM}$ 非平凡而 $\underline{HM}$ 平凡。
• $\kappa$ 的非单射性源于逆极限系统中Mittag-Leffler条件的失效，特别是由于过渡映射的无界增长。
• 反例中 $\bar{HM} = 0$ 的证明依赖于过渡映射中对任意高次幂的2的可除性，强制系数趋于零。
• 在 $HM$ 中存在非平凡类 $\xi = \sum a_j \underline{c}_j$（其中 $a_j \in \{0,1\}$）且不在 $\partial$ 的像中，表明 $HM \neq 0$，而 $\bar{HM} = 0$，从而确认了反例的有效性。