[论文解读] Morse theory and geodesics in the space of Kähler metrics

Tamás Darvas|arXiv (Cornell University)|Jul 18, 2012

Geometry and complex manifolds参考文献 7被引用 7

一句话总结

本文建立了凯勒度量空间中 $C^3$ 测地线的初始切向量的临界点与边界数据之间的莫尔斯理论联系。通过复蒙日-安培方程分析与摄动技术，证明了光滑测地线无法始终连接任意凯勒势，尤其是在流形不是 $\mathbb{C}P^1$ 时，且此类不可连接的势对在 $C^\infty$ 拓扑下构成非空开集。

ABSTRACT

Given a compact Kähler manifold $(X,ω_0)$ let $\mathcal H_{0}$ be the set of Kähler forms cohomologous to $ω_0$. As observed by Mabuchi \cite{m}, this space has the structure of an infinite dimensional Riemannian manifold, if one identifies it with a totally geodesic subspace of $\mathcal H$, the set of Kähler potentials of $ω_0$. Following Donaldson's research program, existence and regularity of geodesics in this space is of fundamental interest. In this paper, supposing enough regularity of a geodesic $u:[0,1] o \mathcal H$, connecting $u_0 \in \mathcal H$ with $u_1 \in \mathcal H$, we establish a Morse theoretic result relating the critical points of $u_1-u_0$ to the critical points of $\dot u_0 = du/dt|_{t=0}$. As an application of this result, we prove that on all Kähler manifolds, connecting Kähler potentials with smooth geodesics is not possible in general. In particular, in the case $X eq \Bbb C P^1$, we will also prove that the set of pairs of potentials that can not be connected with smooth geodesics has nonempty interior. This is an improvement upon the findings of \cite{lv} and \cite{dl}.

研究动机与目标

• 建立凯勒度量空间中 $C^3$ 测地线的初始速度 $\dot{u}_0$ 的临界点与边界差值 $u_1 - u_0$ 之间的莫尔斯理论关系。
• 研究无限维空间 $\mathcal{H}$ 中凯勒势的测地线的存在性与正则性，尤其在 $C^3$ 正则性假设下。
• 证明在一般情况下，光滑测地线无法连接所有凯勒势对，从而推广了先前的非存在性结果。
• 证明当 $X \neq \mathbb{C}P^1$ 时，无法通过光滑测地线连接的势对集合在 $C^\infty(X) \times C^\infty(X)$ 中具有非空内部。

提出的方法

• 分析初始切向量 $\dot{u}_0$ 的临界点处蒙日-安培叶状结构的一阶变分，以关联其临界点与 $u_1 - u_0$ 的临界点。
• 在 $\overline{S} \times X$ 上应用复蒙日-安培方程 $(\omega + i\partial\overline{\partial}u)^{n+1} = 0$，其中 $S = \{s \in \mathbb{C} : 0 < \text{Im}(s) < 1\}$，将测地线建模为具有预设边界数据的解。
• 在 $C^\infty$ 拓扑下使用摄动论证，以保持 $u_1 - u_0$ 的莫尔斯性质与临界点结构，同时维持势的 $C^\infty$ 正则性。
• 应用唐纳森引理（引理 4.1）的修改版本，构造截断函数，确保摄动后凯勒形式的正定性。
• 利用解的 $\omega$-拟凸性，并比较二阶导数，当在特定边界条件下假设存在光滑解时导出矛盾。
• 利用 [DL] 中关于精确正则性界的结果，表明 $C^3$ 假设是最优的，且无法假设更高正则性。

实验结果

研究问题

• RQ1 $C^3$ 测地线的初始速度 $\dot{u}_0$ 的临界点结构是否与边界差值 $u_1 - u_0$ 的临界点相关？
• RQ2 在 $C^3$ 正则性下，光滑测地线是否总能连接 $\mathcal{H}$ 中任意两个凯勒势？
• RQ3 无法通过光滑测地线连接的势对集合在 $C^\infty$ 拓扑下是否为开集？
• RQ4 莫尔斯函数 $u_1 - u_0$ 的临界点的最小数量是多少？这如何限制初始速度 $\dot{u}_0$？
• RQ5 非光滑测地线的存在性结果是否可推广至所有紧致凯勒流形，而不仅限于具有特殊对称性的流形？

主要发现

• 初始速度 $\dot{u}_0$ 的所有临界点必须属于 $u_1 - u_0$ 的临界点，从而在边界数据与初始切向量之间建立了莫尔斯理论联系。
• 若 $u_1 - u_0$ 为莫尔斯函数，则 $\dot{u}_0$ 亦为莫尔斯函数，且临界点的最小数量得以保持。
• 对于任意紧致凯勒流形 $(X, \omega_0)$，存在一对势 $u_0, u_1 \in \mathcal{H}$，无法通过光滑测地线连接。
• 当 $X \neq \mathbb{C}P^1$ 时，此类不可连接的势对在 $C^\infty(X) \times C^\infty(X)$ 中具有非空内部，意味着该现象具有普遍性。
• 非存在性结果是精确的：$C^3$ 正则性假设是最优的，通过反证法与 [DL] 中的关键不等式矛盾，验证了该假设的最优性。
• 当假设存在满足特定临界点结构的边界数据的 $C^3$ 解时，会因 $v'_{z_j z_k}(x_0)$ 与 $\omega'$ 项之间的导数不等式被违反而导出矛盾。