[论文解读] Morse theory and higher torsion invariants I

Sebastian Goette|ArXiv.org|Nov 20, 2001

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 6

一句话总结

本文建立了Bismut-Lott的高阶解析 torsion 与通过纤维上 Morse 函数和平坦向量丛构造的高阶 torsion 不变量之间的比较。在附加条件下，该 torsion 与 Igusa 的高阶 Franz-Reidemeister torsion 相关联，从而能够检测到无限多组光滑丛，其纤维微分同胚但作为丛整体则同胚但不同胚。

ABSTRACT

We compare the higher analytic torsion of Bismut and Lott of a fibre bundle p: M -> B equipped with a flat vector bundle F -> M and a fibre-wise Morse function h on M with a higher torsion T that is constructed in terms of a families Thom-Smale complex associated to h and F, thereby extending previous joint work with Bismut. Under additional conditions on F, the torsion T is related to Igusa's higher Franz-Reidemeister torsion. As an application, we use the higher analytic torsion to detect infinite families of smooth bundles p_i: M -> B with diffeomorphic fibres that are homeomorphic but not diffeomorphic as bundles.

研究动机与目标

• 将 Bismut 和 Lott 的高阶解析 torsion 与从一族 Thom-Smale 复形构造的 torsion 不变量进行比较。
• 通过引入纤维上 Morse 函数和平坦向量丛，将之前与 Bismut 的联合工作进一步拓展。
• 在平坦丛的附加条件下，将所构造的 torsion 与 Igusa 的高阶 Franz-Reidemeister torsion 关联。
• 将解析 torsion 应用于检测具有微分同胚纤维但作为丛整体不同胚的无限多组光滑丛。

提出的方法

• 从纤维上 Morse 函数和平坦向量丛（定义在纤维丛上）构造一族 Thom-Smale 复形。
• 利用 Thom-Smale 复形的上同调定义一个高阶 torsion 不变量 T。
• 通过拉普拉斯算子的渐近分析，将 T 与 Bismut 和 Lott 的高阶解析 torsion $\mathcal{T}$ 进行比较。
• 利用 Witten 变形技术，在大参数极限下将解析 torsion 与拓扑 torsion 关联。
• 在平坦丛的背景下，利用 Cheeger-Müller 定理将解析 torsion 与 Reidemeister torsion 关联。
• 利用 Whitehead 空间与 torsion 不变量，检测纤维丛族中非平凡的光滑结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 Bismut 和 Lott 的高阶解析 torsion 如何与从一族 Thom-Smale 复形构造的 torsion 不变量相关联？
• RQ2 在平坦丛的何种附加条件下，所构造的 torsion T 与 Igusa 的高阶 Franz-Reidemeister torsion 一致？
• RQ3 解析 torsion 是否能够检测具有微分同胚纤维的纤维丛族中的光滑结构？
• RQ4 纤维上 Morse 函数在关联解析 torsion 与拓扑 torsion 不变量中起什么作用？
• RQ5 Witten 变形与 Cheeger-Müller 定理如何促进解析 torsion 与高阶 torsion 之间的比较？

主要发现

• 将 Bismut 和 Lott 的高阶解析 torsion $\mathcal{T}$ 与从与纤维上 Morse 函数和平坦向量丛相关的族 Thom-Smale 复形构造的 torsion 不变量 $T$ 进行了比较。
• 在平坦丛 $F$ 的附加条件下，证明了 torsion $T$ 与 Igusa 的高阶 Franz-Reidemeister torsion 相关联。
• 该比较使得能够检测到无限多组光滑纤维丛，其纤维微分同胚但作为丛整体同胚但不同胚。
• 该方法依赖于拉普拉斯算子的渐近分析以及 Witten 变形，以关联解析 torsion 与拓扑 torsion 不变量。
• 结果通过在分析 torsion 框架中引入莫尔斯理论结构，拓展了之前与 Bismut 的联合工作。
• 该框架为利用高阶 torsion 不变量区分纤维丛族中的光滑结构提供了新工具。