[论文解读] Morse theory and higher torsion invariants II

Sebastian Goette|ArXiv.org|May 20, 2003

Advanced Operator Algebra Research参考文献 16被引用 22

一句话总结

本文将Igusa的高阶Franz-Reidemeister tors论推广至具有单位丛平坦向量丛及纤维上同调上平行度量的紧致流形族。通过纤维上Morse函数，建立了该扭量与Bismut-Lott高阶解析扭量之间的精确公式，表明二者之差由涉及黎曼ζ函数与欧拉类的特征类给出。该结果在存在平行度量的条件下，将Cheeger-Müller定理推广至高阶扭量不变量。

ABSTRACT

Let p: M -> B be a family of compact manifolds equipped with a unitarily flat vector bundle F -> M. We generalize Igusa's higher Franz-Reidemeister torsion τ(M/B;F) to the case that the fibre-wise cohomology H^*(M/B;F) -> B carries a parallel metric. If moreover M admits a fibre-wise Morse function, we compute the difference of τ(M/B;F) and the higher analytic torsion \Cal T(M/B;F). We also generalise the examples given in math.DG/0111222 .

研究动机与目标

• 将Igusa的高阶Franz-Reidemeister扭量推广至纤维上同调丛在Gauss-Manin联络下携带平行度量的族。
• 在存在纤维上Morse函数的条件下，比较该推广扭量与Bismut-Lott的高阶解析扭量。
• 建立解析扭量与高阶Franz-Reidemeister扭量之间差的精确公式，以特征类与曲率形式表示。
• 证明两种扭量在酉Whitehead空间上诱导相同的通用类，从而将Cheeger-Müller定理推广至高阶扭量不变量。

提出的方法

• 在丛 $ V = \tilde{p}_* (F|_C) \otimes o(T^uX) $ 上构造一个平坦超联络 $ A' $，其中 $ C $ 是纤维上Morse函数 $ h $ 的临界集。
• 定义一个尊重滤子的积分映射 $ I: \Omega^*(M;F) \to \Omega^*(B;V) $，并使其在谱序列 $ E_1 $-项上诱导同构。
• 利用 $ V $ 上的度量 $ g^V $ 与由 $ h $ 导出的自同态 $ h^V $，定义一个解析扭量形式 $ T(A', g^V, h^V) \in \Omega^*(B) $。
• 使用Chern-Simons类 $ \widetilde{\operatorname{ch}}(\nabla^H, g^{H}_{L_2}, g^{H}_V) $ 与通过黎曼ζ函数定义的 $ {}^0\!J $-类，表达两种扭量之间的差。
• 应用Bismut-Lott的解析扭量形式 $ \mathcal{T}(T^H M, g^{TX}, \nabla^F, g^F) $，并通过上同调公式将其与推广的 $ \tau(M/B;F) $ 进行比较。
• 证明 $ \tau(M/B;F) $ 与 $ \mathcal{T}(M/B;F) $ 在酉Whitehead空间 $ Wh^u(M(\mathbb{C}), U) $ 上诱导相同的通用类。

实验结果

研究问题

• RQ1 Igusa的高阶Franz-Reidemeister扭量如何推广至纤维上同调丛携带平行度量的族？
• RQ2 当存在纤维上Morse函数时，推广后的高阶Franz-Reidemeister扭量与Bismut-Lott的高阶解析扭量之间存在何种精确关系？
• RQ3 解析扭量与高阶扭量不变量之间的差是否可表示为包含黎曼ζ函数与欧拉类的特征类？
• RQ4 两种扭量不变量是否在酉Whitehead空间上诱导相同的通用类？

主要发现

• 高阶解析扭量 $ \mathcal{T}(M/B;F) $ 与推广的高阶Franz-Reidemeister扭量 $ \tau(M/B;F) $ 之间的差在 $ H^*(B; \mathbb{R}) $ 中由 $ \int_{M/B} e(TX) \cdot {}^0\!J(TX) \cdot \operatorname{rk} F $ 给出。
• 该公式模去 $ B $ 上的恰当形式成立，修正项涉及通过 $ \zeta'(-2k) $ 定义的 $ {}^0\!J $-类与次数为 $ 4k $ 的Chern示性类。
• 扭量不变量 $ \tau(M/B;F) $ 与 $ \mathcal{T}(M/B;F) $ 在酉Whitehead空间 $ Wh^u(M(\mathbb{C}), U) $ 上诱导相同的通用类。
• 该构造对任意单位丛平坦向量丛 $ F $ 成立，不仅限于平凡丛，从而推广了先前结果。
• 该结果证实了一个猜想：即使不需纤维上Morse函数，只要考虑与 $ \mathbb{R}P^{2N} $ 的乘积（$ N $ 足够大），该公式依然成立。
• 本文提供了对有限维扭量 $ T(A', g^V, h^V) $ 的新描述，其以通用空间 $ Wh^u(M(\mathbb{C}), GL(\mathbb{C})) $ 表示。