[论文解读] Most Convex Functions Have Unique Minimizers

Chayne Planiden, Xianfu Wang|arXiv (Cornell University)|Oct 4, 2014

Optimization and Variational Analysis参考文献 8被引用 6

一句话总结

本文通过Baire范畴理论证明，在R^n上，大多数适当的、凸的、下半连续的函数都具有唯一的极小化点。通过构建一个以近端映射为基本对象的完备度量空间，并证明具有唯一不动点的超正则映射——即具有唯一不动点的映射——是典型的，作者表明具有唯一极小化点的凸函数集合是典型的，这意味着非唯一性在拓扑上是罕见的。

ABSTRACT

Finding the minimum and the minimizers of convex functions has been of primary concern in convex analysis since its conception. It is well-known that if a convex function has a minimum, then that minimum is global. The minimizers, however, may not be unique. There are certain subclasses, such as strictly convex functions, that do have unique minimizers when the minimum exists, but other subclasses, such as constant functions, that do not. This paper addresses the question of how many convex functions have unique minimizers. We show, using Baire category theory, that the set of proximal mappings of convex functions that have a unique fixed point is generic. Consequently, the set of classes of convex functions that have unique minimizers is generic.

研究动机与目标

• 确定在所有适当的、凸的、下半连续函数的空间中，具有唯一极小化点的凸函数集合是否典型。
• 通过Baire范畴理论，将“大多数”的概念从测度论扩展到拓扑概念。
• 建立一个近端映射的完备度量空间，并分析具有唯一不动点的映射的典型性。
• 将近端映射的典型性与次微分具有唯一零点的典型性，以及具有唯一极小化点的凸函数的典型性联系起来。
• 为将结果推广到无限维空间及替代函数论方法奠定基础。

提出的方法

• 使用近端映射作为基本对象，构建一个完备度量空间 $(\mathcal{P}, \rho)$。
• 将近端映射 $P_\lambda f(x) = \arg\min_y \left\{ f(y) + \frac{1}{2\lambda}\|y - x\|^2 \right\}$ 定义为关键算子。
• 利用Moreau包络 $e_\lambda f(x) = \inf_y \left\{ f(y) + \frac{1}{2\lambda}\|y - x\|^2 \right\}$ 将函数与其近端映射联系起来。
• 证明在 $\mathcal{P}$ 中，压缩近端映射的集合是稠密的，利用压缩映射是超正则映射这一事实。
• 通过可数个开稠密集的交集，证明具有唯一不动点的超正则映射集合在 $\mathcal{P}$ 中是典型的。
• 通过子微分空间 $(J,d)$ 与 $(\mathcal{P}, \rho)$ 之间的等距同构，将典型性结果传递至子微分，最终传递至凸函数的等价类。

实验结果

研究问题

• RQ1 在 $\mathbb{R}^n$ 上所有适当的、凸的、下半连续函数的空间中，具有唯一极小化点的凸函数集合是否典型？
• RQ2 是否可以在拓扑意义上而非仅测度论意义上，有意义地应用“大多数”这一概念于凸函数？
• RQ3 在所有近端映射的空间中，具有唯一不动点的近端映射是否典型？
• RQ4 唯一极小化点的典型性是否可从近端映射推广至子微分，以及至凸函数的等价类？
• RQ5 这些结果能否推广至无限维Hilbert空间或其它函数空间？

主要发现

• 在完备度量空间 $(\mathcal{P}, \rho)$ 中，具有唯一不动点的近端映射集合是典型的，即它是可数个开稠密集的交集。
• 具有唯一不动点的超正则映射集合在 $\mathcal{P}$ 中是典型的，这是通过压缩映射的逼近得到的。
• 在空间 $(J,d)$ 中，具有唯一零点的适当、凸、下半连续函数的子微分集合是典型的，这是由于其与 $\mathcal{P}$ 之间的等距同构。
• 在空间 $(\mathcal{F}, \tilde{d})$ 中，具有唯一极小化点的凸函数等价类集合是典型的，证实了在拓扑意义上唯一极小化点是典型的。
• 结果在等距同构下具有鲁棒性，使得典型性可从近端映射传递至子微分，再传递至函数类。
• 本文确立了极小化点的非唯一性在拓扑上可忽略不计，因为具有非唯一极小化点的函数集合属于第一范畴。