[论文解读] Most tensor problems are NP-hard

Christopher J. Hillar, Lek‐Heng Lim|arXiv (Cornell University)|Nov 7, 2009

Tensor decomposition and applications参考文献 85被引用 18

一句话总结

本文证明了多线性代数中的大多数基本问题——如计算张量特征值、奇异值、谱范数、秩以及最佳低秩逼近——即使在三阶张量中也是NP难的。作者通过从已知的NP完全问题进行约化，证明了原本在可解线性代数中成立的问题在张量情形下通常具有计算不可解性。

ABSTRACT

We prove that multilinear (tensor) analogues of many efficiently computable problems in numerical linear algebra are NP-hard. Our list here includes: determining the feasibility of a system of bilinear equations, deciding whether a 3-tensor possesses a given eigenvalue, singular value, or spectral norm; approximating an eigenvalue, eigenvector, singular vector, or the spectral norm; and determining the rank or best rank-1 approximation of a 3-tensor. Furthermore, we show that restricting these problems to symmetric tensors does not alleviate their NP-hardness. We also explain how deciding nonnegative definiteness of a symmetric 4-tensor is NP-hard and how computing the combinatorial hyperdeterminant of a 4-tensor is NP-, #P-, and VNP-hard. We shall argue that our results provide another view of the boundary separating the computational tractability of linear/convex problems from the intractability of nonlinear/nonconvex ones.

研究动机与目标

• 通过证明其为NP难，确立张量代数中核心问题的计算不可解性。
• 将矩阵的NP难性结果推广到高阶张量，揭示其与可解线性代数之间的鲜明对比。
• 分析对称张量问题的复杂性，表明对称性并不能缓解计算难度。
• 研究四阶张量中非负定性和超行列式的复杂性，证明其为NP难、#P难和VNP难。
• 厘清数值多线性代数中可解的线性/凸问题与不可解的非线性/非凸问题之间的界限。

提出的方法

• 从已知的NP完全问题（如3-SAT、二次可行性问题）约化到张量问题，以证明NP难性。
• 构建实数与有理数上的双线性系统和多重线性方程，以建模张量问题。
• 使用符号计算（如通过Singular计算的Gröbner基）验证关键引理中的多项式恒等式与理想成员关系。
• 通过约化到双线性可行性问题，证明特征值、奇异值和谱范数问题的NP难性。
• 利用不变量理论和对称多重线性形式分析对称张量问题。
• 结合代数几何与复杂性理论，证明四阶张量中非负定性与组合超行列式的NP难性。

实验结果

研究问题

• RQ1 张量对标准线性代数问题（如特征值与奇异值计算）的类比是否为NP难？
• RQ2 张量的对称性是否会降低这些问题的计算复杂度？
• RQ3 判断一个四阶张量是否为非负定是否为NP难？
• RQ4 计算四阶张量的组合超行列式的复杂度是什么？
• RQ5 能否在多项式时间内计算三阶张量的最佳秩-1逼近？

主要发现

• 在实数域上计算三阶张量的特征值是NP难的，即使对于对称张量也是如此。
• 近似计算三阶张量的特征向量或奇异向量是NP难的。
• 计算三阶张量的谱范数是NP难的，或难以近似。
• 在ℝ或ℂ上确定三阶张量的秩是NP难的。
• 计算三阶张量的最佳秩-1逼近是NP难的。
• 判断对称四阶张量的非负定性是NP难的，且其组合超行列式为NP难、#P难和VNP难。