[论文解读] Motion of a Rigid Body in Body-Fixed Coordinate System -- for Autoparrallel Trajectories in Spaces with Torsion

Plamen Fiziev, H. Kleinert|arXiv (Cornell University)|Mar 11, 1995

Control and Dynamics of Mobile Robots参考文献 5被引用 3

一句话总结

本文利用一种新颖的变分原理，推导出在具有曲率和挠率的空间中，刚体在本体系固定参考系下的欧拉方程。结果表明，粒子轨迹遵循测地线以外的测地线——即此类几何中的最直路径——而非测地线，从而挑战了人们普遍认为在弯曲空间中路径为最短路径的观念。

ABSTRACT

We use a recently developed action principle in spaces with curvature and torsion to derive the Euler equations of motion for a rigid body within the body-fixed coordinate system. This serves as an example that the particle trajectories in a space with curvature and torsion follow the straightest paths (autoparallels), not the shortest paths (geodesics), as commonly believed.

研究动机与目标

• 在具有曲率和挠率的空间中，为刚体在本体系固定坐标系下的运动方程建立形式化表达。
• 研究此类空间中粒子轨迹的性质，特别是其是否遵循测地线或测地线。
• 通过证明在存在挠率时路径并非最短路径，挑战普遍认为在弯曲空间中粒子运动遵循最短路径（即测地线）的假设。
• 提供一个具体的物理实例——刚体运动——以说明测地线与测地线之间的区别在物理上具有实际意义。
• 建立一个适用于具有非黎曼几何（包括挠率）的空间中系统的统一变分原理框架。

提出的方法

• 采用一种近期发展的、专为具有曲率和挠率的空间设计的变分原理，扩展了标准变分方法。
• 将该变分原理应用于本体系固定参考系中的刚体，推导出相应的运动欧拉方程。
• 施加运动路径遵循测地线的条件，测地线被定义为速度矢量协变导数为零的路径。
• 采用非对称仿射联络描述几何结构，同时包含曲率张量和挠率张量。
• 通过对方程关于本体系固定参考系中的角速度和方位变量进行变分，推导出运动方程。
• 在非度量性和非对称联络的背景下，探讨其对刚体动力学的影响。

实验结果

研究问题

• RQ1 在具有挠率的空间中，刚体的运动方程与黎曼空间中的方程有何不同？
• RQ2 在具有挠率的空间中，粒子轨迹是遵循测地线还是测地线？
• RQ3 能否为非黎曼几何中刚体的运动建立一个一致的变分原理？
• RQ4 挠率在本体系固定参考系中改变刚体惯性动力学方面起什么作用？
• RQ5 挠率的存在如何影响刚体运动的可积性和对称性特征？

主要发现

• 在具有挠率的空间中，刚体在本体系固定参考系下推导出的欧拉方程与测地线路径一致。
• 在具有挠率的空间中，轨迹并非测地线，而是由非对称联络定义的最直可能路径。
• 本文提供了一个反例，以反驳普遍认为在弯曲空间中运动遵循最短路径的观念，表明挠率会改变这种行为。
• 所采用的变分原理成功地将曲率和挠率同时纳入，得出具有物理意义的运动方程。
• 结果表明，在非黎曼几何中，'最直路径'（测地线）的概念与'最短路径'（测地线）存在根本性差异。
• 该框架允许对具有非零挠率的空间中的刚体进行一致的动力学描述，将经典力学扩展至广义几何领域。