[论文解读] Motion of level sets by inverse anisotropic mean curvature

Francesco Della Pietra, Nunzia Gavitone+1 more|arXiv (Cornell University)|Apr 18, 2018

Geometric Analysis and Curvature Flows参考文献 6被引用 3

一句话总结

本文通过Finsler-$p$-Laplacian逼近方法，建立了反各向异性平均曲率流（IAMCF）弱解的存在性与唯一性。通过正则化与IAMCF相关的退化椭圆型方程，并取$ p \to 1^+ $的极限，作者证明了存在一个适当的弱解$ u \in C^{0,1}_{\textrm{loc}}(\overline{\Omega}) $，其梯度有界性与初始各向异性平均曲率相关。

ABSTRACT

In this paper we consider the weak formulation of the inverse anisotropic mean curvature flow, in the spirit of Huisken-Ilmanen. By using approximation method involving Finsler-p-Laplacian, we prove the existence and uniqueness of weak solutions.

研究动机与目标

• 将Huisken-Ilmanen对反平均曲率流的弱公式化推广至各向异性情形，采用水平集方法。
• 在Huisken-Ilmanen理论的框架下，建立反各向异性平均曲率流（IAMCF）弱解的存在性。
• 提出一种基于Finsler-$p$-Laplacian的正则化逼近方案，以克服各向异性情形下缺乏椭圆正则化的问题。
• 证明当$ p \to 1^+ $时，逼近解的梯度估计具有一致性，确保其收敛至弱解。
• 以初始各向异性平均曲率$ H_F^+ $为基准，推导出各向异性梯度$ F(\nabla u) $的先验估计。

提出的方法

• 将IAMCF表述为一个退化椭圆型PDE：$\operatorname{div}(F_\xi(\nabla u)) = F(\nabla u)$，其中$ u=0 $在$ \partial\Omega $上，且当$ |x| \to \infty $时$ u \to \infty $。
• 引入Finsler-$p$-Laplacian方程作为逼近：在$ \Omega $中，有$\operatorname{div}(F^{p-1}(\nabla u) F_\xi(\nabla u)) = F(\nabla u)^p $，其中$ u=0 $在$ \partial\Omega $上，且在无穷远处$ u \to \infty $。
• 利用变分法与PDE技巧，证明对每个$ p > 1 $，逼近问题的解$ u_p $存在且具有$ C^{1,\alpha} $正则性。
• 建立在$ \overline{\Omega} $上一致的梯度估计$ F(\nabla u_p) \leq \sup_{\partial\Omega} H_F^+ + \varepsilon $，且该估计与$ p $无关，当$ p $接近1时成立。
• 应用Arzelà-Ascoli定理，提取子列$ u_{p_k} \to u $在紧集上一致收敛，当$ p_k \to 1^+ $时。
• 在能量泛函$ J^{p}_{u_p}(\varphi) $中取极限，证明极限$ u $满足定义1中意义下的IAMCF弱公式。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否将Huisken-Ilmanen型弱解理论推广至反各向异性平均曲率流？
• RQ2 各向异性情形下标准椭圆正则化缺失是否阻碍弱解的构造？
• RQ3 当$ p \to 1^+ $时，Finsler-$p$-Laplacian能否提供IAMCF的可行逼近方案？
• RQ4 在逼近序列中，能否获得$ F(\nabla u_p) $的与$ p $无关的一致梯度估计？
• RQ5 逼近解的极限是否满足弱公式，并继承适当的正则性与梯度有界性？

主要发现

• 反各向异性平均曲率流存在唯一的适当弱解$ u \in C^{0,1}_{\textrm{loc}}(\overline{\Omega}) $，满足在$ \partial\Omega $上$ u=0 $。
• 该解满足梯度有界性$ F(\nabla u(x)) \leq \sup_{\partial\Omega} H_F^+ $，对所有$ x \in \overline{\Omega} $成立。
• 该解还满足点态有界性$ F(\nabla u(x)) \leq H_F^+(x) $，对所有$ x \in \partial\Omega $成立。
• 对每个$ p > 1 $，逼近问题存在唯一的解$ u_p \in C^{1,\alpha}_{\textrm{loc}}(\overline{\Omega}) $，且具有统一的梯度估计$ F(\nabla u_p) \leq \sup_{\partial\Omega} H_F^+ + \varepsilon $。
• 当$ p \to 1^+ $时，序列$ u_p $在紧集上一致收敛于弱解$ u $。
• 弱解作为Finsler-$p$-Laplacian逼近的极限获得，通过逼近与紧致性证明了其存在性。