[论文解读] Motivation to Run in One-Day Cricket

Paramahansa Pramanik, Alan M. Polansky|arXiv (Cornell University)|Jan 29, 2020

Sports Analytics and Performance被引用 6

一句话总结

本文提出了一种基于费曼路径积分的新型模型，用于确定一日国际板球赛中团队得分的最优球员系数（$\beta^*$），整合了近期球员表现的双曲贴现、受天气和比赛条件影响的随机得分动态，以及量子启发的路径积分技术，以在雨天中断情况下优化击球顺序和团队策略。

ABSTRACT

In this paper we introduce a new methodology to determine an optimal coefficient for a positive finite measure of batting average, strike rate, and bowling average of a player in order to get an optimal score of a team under dynamic modeling using a path integral method. We also introduce new run dynamics modeled as a stochastic differential equation in order to incorporate the average weather conditions at the cricket ground, the weather condition on the day of the match including sudden deterioration which leads to a partial or complete stop of the game, total attendance, and home field advantage.

研究动机与目标

• 开发一种动态、数学严谨的模型，用于在可变环境和比赛条件下预测一日国际板球赛的团队得分。
• 通过整合随机得分动态和基于双曲贴现的球员特定表现衰减，克服现有雨水补偿方法（如达克沃斯-路易斯法）的局限性。
• 推导出一个最优系数（$\\beta^*$），用于反映近期表现和战略角色的球员估值，从而实现数据驱动的击球顺序决策。
• 使用带漂移和扩散分量的随机微分方程，对天气干扰和主场优势的影响进行建模。
• 应用量子启发的路径积分技术（费曼、伊藤-亨斯托克-柯尔兹韦尔-麦克沙恩）求解不确定条件下的最优团队策略。

提出的方法

• 使用双曲贴现（$\\exp(-\rho_i m)$）对球员最近10场比赛进行加权，赋予近期表现更高的权重，以估算其预期贡献。
• 将团队得分目标函数定义为加权和的折扣个体球员得分，权重（$\beta_i$）由球员声誉（平均得分、击球率、投球平均分）决定。
• 使用带正漂移（$\\hat{\\bm{\\mu}}$）和扩散（$\\bm{\\sigma}$）的随机微分方程（SDE）对得分动态进行建模，整合天气、观众人数和对方投球手行为。
• 将扩散系数分解为$\\bm{\\sigma}_1$（场地和天气）和$\\bm{\\sigma}_2^*$（通过分形维空间和复特征函数建模对方策略）。
• 通过费曼公式应用路径积分方法，利用Wick旋转和Riemann-Lebesgue引理，将哈密顿-雅可比-贝尔曼方程转化为可解的随机路径积分。
• 通过求解由路径积分导出的薛定谔型方程，推导出最优系数$\beta^*(\\mathbf{Z})$，确保在动态条件下具有稳定性和最优性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何在时间上最优地加权球员表现，以预测一日国际板球赛的团队得分，特别是在近期状态比遥远过去更具指示性时？
• RQ2 平衡球员声誉、近期表现和团队构成中的战略角色时，最优系数$\beta^*$是什么？
• RQ3 如何使用具有可测漂移和扩散分量的SDE，对可变天气和比赛中断下的随机得分动态进行建模？
• RQ4 路径积分方法在求解板球得分模型时，为何比传统动态规划或哈密顿-雅可比-贝尔曼方法更具可处理性？
• RQ5 环境因素（如降雨、风力和场地湿度）如何影响得分率，以及如何将它们嵌入到实时策略优化的随机框架中？

主要发现

• 最优系数$\beta^*(\\mathbf{Z})$被表示为球员表现、团队状态和环境条件的函数，从而实现动态击球顺序选择。
• 模型表明，平均得分（>50）和击球率（>85）高的球员在$W_i(u)$中被赋予非常大的有限值，反映出其战略重要性。
• 当所有球员的$\beta_i = \beta_j = \beta^*$时，最优系数表示为对球员估值$\\mathbf{W}$的漂移和扩散项梯度的函数。
• 路径积分公式允许引入类似量子的效应（如$\\exp[\\varphi(\\mathfrak{u})\\sqrt{8/3}]$），以模拟不可预测的对方策略和环境波动性。
• 通过使用$\\delta_{\\mathfrak{u}}$-规范对持续时间进行建模，模型考虑了雨天中断的影响，确保中断后得分动态的连续性。
• 在$\\tilde{\\varepsilon} \downarrow 0$下解收敛，通过Riemann-Lebesgue引理确保路径积分的稳定性和可测性。