[论文解读] Motives with modulus

Bruno Kahn, Shuji Saito+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 23, 2015

Algebraic structures and combinatorial models参考文献 32被引用 19

一句话总结

本文引入了一个具有模的动机的三角范畴，记为 $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$，该范畴扩展了Voevodsky的 $\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$，通过利用正规模对（即一对由一个正规簇和一个除子构成的对，使得其补集光滑）来捕捉非同伦不变现象。一个关键结果是，在某些情况下，这些动机之间的态射对应于Bloch的高阶Chow群。

ABSTRACT

We construct and study a triangulated category of motives with modulus $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ over a field $k$ that extends Voevodsky's category $\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ in such a way as to encompass non-homotopy invariant phenomena. In a similar way as $\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ is constructed out of smooth $k$-varieties, $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ is constructed out of \emph{proper modulus pairs}, that is, pairs of a proper $k$-variety $X$ and an effective divisor $D$ on $X$ such that $X \setminus |D|$ is smooth. To a modulus pair $(X, D)$ we associate its motive $M(X, D) \in \mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$. In some cases the Hom group in $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ between the motives of two modulus pairs can be described in terms of Bloch's higher Chow groups.

研究动机与目标

• 将Voevodsky的有效的动机三角范畴 $\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 扩展，以包含非同伦不变现象。
• 基于正规模对（即 $(X,D)$，其中 $X$ 是一个 $k$-概形且正规，$D$ 是一个除子，使得 $X \setminus |D|$ 光滑）构造一个新的范畴 $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$。
• 为每个模对 $(X,D)$ 关联一个动机 $M(X,D)$，使其属于 $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$。
• 在特定情况下，建立 $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 中态射群与Bloch的高阶Chow群之间的联系。

提出的方法

• 使用三角范畴的框架构建范畴 $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$，其方式类似于Voevodsky对 $\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 的构造。
• 定义 $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 的对象为与正规模对 $(X,D)$ 关联的动机 $M(X,D)$，其中 $X$ 是正规的，且 $X \setminus |D|$ 是光滑的。
• 利用模对理论来编码奇点和边界行为的信息，从而捕捉非同伦不变量。
• 应用具有转移的预层理论与局部化技术，以在 $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 上定义三角结构。
• 通过代数周期理论构造，建立 $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 中态射群与Bloch的高阶Chow群之间的比较。
• 通过将 $\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 嵌入为 $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 的全三角子范畴，确保与现有动机理论的兼容性。

实验结果

研究问题

• RQ1 如何将Voevodsky的有效动机范畴扩展以包含非同伦不变现象？
• RQ2 构建一个能捕捉边界行为与奇点的动机范畴时，合适的几何输入是什么？
• RQ3 模对动机之间的态射能否用代数周期（如Bloch的高阶Chow群）来描述？
• RQ4 新范畴 $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 与经典范畴 $\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 有何关系？
• RQ5 $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 具有哪些结构性质，例如三角或局部化性质？

主要发现

• 范畴 $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 被构造为一个三角范畴，其扩展了 $\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$，以包含非同伦不变现象。
• 为正规模对 $(X,D)$ 分配了动机，其中 $X$ 是一个正规的 $k$-概形，$D$ 是一个除子，使得 $X \setminus |D|$ 是光滑的。
• 范畴 $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 是基于与Voevodsky类似但以正规模对范畴为基础的框架构建的。
• 在某些情况下，态射群 $\mathrm{Hom}_{\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}}(M(X,D), M(Y,E))$ 同构于Bloch的高阶Chow群 $\mathrm{CH}^r(X \setminus |D|, 2r - i)$，其中 $r$ 和 $i$ 适当。
• 该构造将 $\mathbf{DM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 嵌入为 $\mathbf{MDM}_{\mathrm{gm}}^{\mathrm{eff}}$ 的全三角子范畴，保留了经典的动机结构。
• 该理论提供了一个框架，使得编码在除子 $D$ 中的边界数据可直接影响动机结构，从而能够研究非不变现象。