[论文解读] Motivic classes of moduli of Higgs bundles and moduli of bundles with connections

Roman Fedorov, Alexander Soibelman+1 more|arXiv (Cornell University)|May 13, 2017

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 19被引用 9

一句话总结

本论文计算了在特征零域上光滑射影曲线上的半稳定Higgs丛与带联络的向量丛的 motivic 类。通过 motivic Hall 代数技术以及 Harder 定理在 Eisenstein 系列上的 motivic 推广，证明了秩为 $ r $、度为零的带联络丛模堆栈的 motivic 类等于同秩同度为零的半稳定 Higgs 丛模堆栈的 motivic 类。

ABSTRACT

Let X be a smooth projective curve over a field of characteristic zero. We calculate the motivic class of the moduli stack of semistable Higgs bundles on X. We also calculate the motivic class of the moduli stack of vector bundles with connections by showing that it is equal to the class of the stack of semistable Higgs bundles of the same rank and degree zero. We follow the strategy of Mozgovoy and Schiffmann for counting Higgs bundles over finite fields. The main new ingredient is a motivic version of a theorem of Harder about Eisenstein series claiming that all vector bundles have approximately the same motivic class of Borel reductions as the degree of Borel reduction tends to $-\infty$.

研究动机与目标

• 计算在特征零域上光滑射影曲线上的半稳定 Higgs 丛模堆栈的 motivic 类。
• 在 motivic 设置下，建立带联络的向量丛模堆栈与同秩同度为零的半稳定 Higgs 丛模堆栈之间的 motivic 等价关系。
• 发展 Harder 定理在 Eisenstein 系列上的 motivic 版本，证明当度趋于 $-∞$ 时，Borel 约化丛的 motivic 类渐近相等。
• 将 motivic Donaldson–Thomas 不变量的框架扩展至同调维数为二的范畴，如 Higgs 丛与联络丛。
• 在 motivic Hall 代数设置下，推导出 motivic zeta 函数与生成系列的显式公式。

提出的方法

• 利用 motivic Hall 代数框架分析相干层堆栈及其滤子，特别是 HN-滤子。
• 应用 Harder 定理在 Eisenstein 系列上的 motivic 版本，证明当度趋于 $-∞$ 时，Borel 约化丛的 motivic 类趋于稳定。
• 在 motivic Hall 代数中应用 Kontsevich–Soibelman 乘积结构，关联 Higgs 丛与带联络丛。
• 使用完备 motivic 环 $\overline{\mathrm{Mot}}(\mathbf{k})$ 处理 motivic 类的无限和，实现生成系列的收敛。
• 依赖于按 HN 类型与无挠部分的堆栈分层，通过一般点进行纤维层面的 motivic 类比较。
• 在 motivic Hall 代数中应用 $\operatorname{Exp}$ 与 $\operatorname{Powoli}$ 运算，推导出幂零自同态丛的生成系列。

实验结果

研究问题

• RQ1 在特征零域上光滑射影曲线上的半稳定 Higgs 丛（秩 $ r $，度 $ d $）的模堆栈的 motivic 类是什么？
• RQ2 在 motivic 设置下，Higgs 丛与带联络向量丛模堆栈的 motivic 类之间有何关系？
• RQ3 能否建立 Harder 定理在 Eisenstein 系列上的 motivic 类似物，证明 Borel 约化丛的 motivic 类在度趋于 $-∞$ 时渐近相等？
• RQ4 能否利用 motivic Hall 代数技术，推导出 Higgs 丛与带联络丛的 motivic zeta 函数的显式公式？
• RQ5 HN-非负相干层（带有幂零自同态）的 motivic 类与 Higgs 丛及联络丛的 motivic 类有何关系？

主要发现

• 通过 motivic Hall 代数技术，显式计算了秩为 $ r $、度为 $ d $ 的半稳定 Higgs 丛模堆栈 $\mathcal{M}_{r,d}^{ss}$ 的 motivic 类。
• 证明了秩为 $ r $、度为零的带联络丛模堆栈的 motivic 类等于同秩同度为零的半稳定 Higgs 丛模堆栈 $\mathcal{M}_{r,0}^{ss}$ 的 motivic 类。
• 证明了 Harder 定理的 motivic 版本：当 Borel 约化丛的度趋于 $-∞$ 时，其 motivic 类趋于同一极限。
• HN-非负相干层（带有幂零自同态）的 motivic 类的生成系列为 $\sum_{r,d\geq 0}["]\mathbb{L}^{(g-1)\langle\lambda,\lambda\rangle}J_{\lambda}^{mot}(z)H_{\lambda}^{mot}(z)w^{| \lambda|}\cdot\operatorname{Exp}\left(\frac{[X]}{\mathbb{L}-1}\cdot\frac{z}{1-z}\right)$。
• 半稳定 Higgs 丛堆栈的 motivic zeta 函数被表达为斜率的乘积，每个因子涉及 motivic Hall 代数中的 $\operatorname{Exp}$ 与 $\operatorname{Pow}$ 运算。
• 证明依赖于通过一般点进行的纤维层面 motivic 类比较，以及幂零锥与自同态代数的直和分解之间的同构。