[论文解读] Motivic decompositions of moduli spaces of vector bundles on curves

Tomás L. Gómez, Kyoung-Seog Lee|arXiv (Cornell University)|Jul 12, 2020

Algebraic Geometry and Number Theory被引用 2

一句话总结

本文为在亏格 g ≥ 2 的光滑射影曲线 C 上，对秩 r = 2, 3 且固定行列式 L（度数 d = 1）的稳定向量丛模空间 M(r, L) 提供了一种新的动机分解。通过在代数簇的格罗滕迪克环与伏伊多维奇动机中使用哈勒-纳拉萨伊坦滤子和动机 zeta 函数，作者推导出涉及 C 的对称幂的显式动机 Poincaré 多项式公式，确认了 r = 2 时纳拉西姆汉猜想的动机版本，并将其推广至 r = 3 的情形。

ABSTRACT

Let $r \geq 2, d$ be two integers which are coprime to each other. Let $C$ be a smooth projective curve of genus $g \geq 2$ and $M(r,L)$ be the moduli space of rank $r$ stable vector bundles on $C$ whose determinants are isomorphic to a fixed line bundle $L$ of degree $d$ on $C.$ In this paper, we study motivic decomposition of $M(r,L)$ for $r=2, 3$ cases. We give a new proof of a version of the main result of arXiv:1806.11101. We also found a new motivic decomposition of $M(3,L).$

研究动机与目标

• 为在亏格 g ≥ 2 的曲线 C 上，固定行列式 L（度数 d = 1）的稳定向量丛模空间 M(r, L) 提供一种新的动机分解。
• 基于哈勒-纳拉萨伊坦滤子与动机 zeta 函数，以统一且简化的方法重新证明 M(2, L) 的动机 Poincaré 多项式公式，从而确认纳拉西姆汉猜想的动机版本。
• 将动机分解推广至秩 3 情形，以 C 的对称幂与雅可比簇表示 χ(M(3, L)) 的新公式。
• 证明这些动机分解不仅在代数簇的格罗滕迪克环中成立，也在伏伊多维奇的混合动机范畴中成立。

提出的方法

• 利用哈勒-纳拉萨伊坦滤子在代数簇的格罗滕迪克环中将模堆 Bunr,d 分解为稳定部分与不稳定部分。
• 通过线丛扩张的参数化方法计算不稳定部分的动机类，利用黎曼-罗赫定理确定 Ext 与 Hom 空间的维数。
• 在 Chow 动机的完备格罗滕迪克环中应用动机 zeta 函数恒等式 Z(C, t) = (1 + t)^h1(C) / ((1 - t)(1 - Lt))。
• 利用 [1, 10, 11, 13, 15] 中的动机分解，将对称幂 Ck 的动机表示为雅可比簇与线丛的组合。
• 通过从 Bunr,d 的总类中减去不稳定部分，推导出动机 Poincaré 多项式。
• 通过在格罗滕迪克环与 K0(dDMgm) 中比较结果表达式与猜想形式，验证该分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否基于哈勒-纳拉萨伊坦滤子与动机 zeta 函数，以统一且简化的方法重新推导 M(2, L) 的动机 Poincaré 多项式？
• RQ2 是否存在一种动机分解，使得 M(3, L) 的结构与其中心导出范畴的猜想半正交分解相对应？
• RQ3 在 r = 2, 3 的 M(r, L) 动机分解中，对称幂 Ck 与雅可比簇 J(C) 的动机类如何相互作用？
• RQ4 这些动机分解在多大程度上可提升至伏伊多维奇动机范畴与代数簇的格罗滕迪克环？
• RQ5 这些动机分解是否与导出范畴分解及猜想的 Fukaya 分解兼容？

主要发现

• 当 r = 2, d = 1 时，M(2, L) 的动机 Poincaré 多项式为 ∑_{k=0}^{g-2} χ(Ck)(L^k + L^{3g-3-2k}) + χ(C^{g-1})L^{g-1}，确认了纳拉西姆汉猜想的动机版本。
• 当 r = 3, d = 1 时，动机 Poincaré 多项式为 ∑_{k1+k2<2(g-1)} χ(C^{k1} × C^{k2})(L^{k1+2k2} + L^{8g-8-2k1-3k2}) + ∑_{k1+k2=2(g-1), k1<g-1} χ(C^{k1} × C^{k2})(L^{k1+2k2} + L^{8g-8-2k1-3k2}) + χ(C^{g-1} × C^{g-1})L^{3(g-1)}
• 在 cK0(Var) 中，[M(r, L)] 的动机类可分解为 C 的对称幂与 L 的幂的乘积之和，其系数属于格罗滕迪克环。
• 相同的动机分解在 K0(dDMgm)，即伏伊多维奇混合动机范畴的格罗滕迪克群中也成立。
• Bun2,L 的不稳定部分被计算为 [J(C)]L^g / ((L-1)(L^2-1))，从总类中减去后即得 [M(2, L)]。
• 导出范畴的纳拉西姆汉猜想得到动机分解的支持，表明动机分解与半正交分解之间具有相容性。