[论文解读] Motivic Hodge modules

Brad Drew|arXiv (Cornell University)|Jan 30, 2018

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 13被引用 5

一句话总结

本文为复数域上有限型概形上的 motivic Hodge 模构建了一个准范畴增强的六函子形式系统，提供了与 A1-同伦理论兼容的典范 motivic 实现，且该实现与 Grothendieck 的六函子在构造对象上相容。其核心贡献是一个完全增强的、可实现 t-结构的框架，通过丰富同态空间实现了 Deligne 的混合 Hodge 结构与绝对 Hodge 上同调，为构建进入 Saito 的混合 Hodge 模的导出范畴的实现函子提供了可行路径。

ABSTRACT

We construct a quasi-categorically enhanced Grothendieck six-functor formalism on schemes of finite type over the complex numbers. In addition to satisfying many of the same properties as M. Saito's derived categories of mixed Hodge modules, this new six-functor formalism receives canonical motivic realization functors compatible with Grothendieck's six functors on constructible objects.

研究动机与目标

• 为解决从 A1-同伦理论到 Saito 的混合 Hodge 模导出范畴的实现函子构造中的障碍，目前该领域尚缺乏准范畴增强。
• 开发一个准范畴增强的 motivic Hodge 模形式系统，与 Grothendieck 的六函子相容，并在构造对象上允许从 SH(−) 到 motivic Hodge 模的典范 motivic 实现函子。
• 提供一个框架，使得 Deligne 的混合 Hodge 结构与绝对 Hodge 上同调能通过 motivic Hodge 形式系统中的丰富同态空间被典范实现。
• 在构造对象的 motivic Hodge 类别上建立权重结构，明确给出生成元并证明其在扩张下稳定，基于纯性与消去条件。
• 证明到 Saito 的范畴的比较函子应为全纯满射，从而将混合 Hodge 模的实现问题简化为构造此类比较函子。

提出的方法

• 在有限型复数概形上构建一个准范畴增强的六函子形式系统 X ↦ DH(X)，并将其推广至单纯概形。
• 为构造对象的 motivic Hodge 模类别 DHc(X) 赋予到有理极化混合 Hodge 结构的导出范畴 Db(MHSp_Q) 的典范丰富结构。
• 利用此丰富结构，将 Hs_B(X,Q)(r) 实现为单位对象的 Tate 拉升之间丰富同态对象的第 s 个上同调。
• 通过一个从 SH(−) → DH(−) 的典范函子，经由 étale 局域化的 A1-同伦范畴，建立 motivic 实现与 Grothendieck 六函子的相容性。
• 应用 Brown 表示性定理与重构定理，利用上同调支撑上的纯性与消去条件，在 DHc(X) 上构造权重结构。
• 利用 Hironaka 的消去与 de Jong 的变换，建立 h-下降性并验证权重结构的公理，依赖于绝对 Hodge 上同调的 Beĭlinson–Soulé 猜想成立。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否构建一个准范畴增强的 motivic Hodge 模六函子形式系统，使其与 Grothendieck 的操作相容，并实现 Deligne 的混合 Hodge 结构？
• RQ2 能否以一种与构造对象上六函子相容的方式，从 A1-同伦理论构造 motivic 实现函子到 motivic Hodge 模？
• RQ3 motivic Hodge 形式系统在其构造子范畴上是否具有权重结构，且能否显式描述？
• RQ4 从 motivic Hodge 形式系统到 Saito 的混合 Hodge 模导出范畴的比较函子是否为全纯满射？
• RQ5 在 A1-同伦理论中尚无已知 t-结构的前提下，能否确立 motivic Hodge 形式系统上 t-结构的存在性？

主要发现

• motivic Hodge 形式系统 DH(X) 在有限型复数概形上提供了一个准范畴增强的六函子系统，与 Grothendieck 的操作相容，并可推广至单纯概形。
• 构造对象的 motivic Hodge 模类别 DHc(X) 允许到 Db(MHSp_Q) 的典范丰富结构，将 Deligne 的混合 Hodge 结构 Hs_B(X,Q)(r) 实现为单位对象的 Tate 拉升之间丰富同态对象的第 s 个上同调。
• motivic 实现函子 SH(−) → DH(−) 在限制到构造对象时与 Grothendieck 的六函子相容，为 A1-同伦理论提供了典范联系。
• 系数系统 DHc(−)⊗ 对于 G（纯 Hodge 结构的集合）具有唯一的 G-构造权重结构，且比较态射 ρ∗,⊗_Hdg,c 是权重保持的。
• 态射 ι∗,⊗_c: DHc(−)⊗ → DHc(−)⊗ 是权重保持的，且该形式系统满足混合 Hodge 理论中构造系数理论的所有期望性质，除了 Db_c((−)an,Q) 上的 perverse t-结构在 DHc(−) 上的提升存在性。
• 权重结构在 DHc(−) 上的存在性并不依赖于 Beĭlinson–Soulé 猜想，因为绝对 Hodge 上同调的类似猜想已被证明成立。