[论文解读] Motivic Homotopy Theory of Algebraic Stacks

Chirantan Chowdhury|arXiv (Cornell University)|Nov 8, 2021

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology参考文献 16被引用 3

一句话总结

本文通过 Lurie 的 ∞-范畴框架与 Liu-Zheng 的增强运算映射，将动机同伦理论扩展至一大类代数堆栈——如准分离代数空间、商堆栈及纤维丛模堆栈——在 (2,1)-范畴 Nis-locSt 上建立了 motivic 稳定同伦范畴 SH⊗_ext 的六 functor 形式系统，证明了同伦不变性、局部化与纯性等关键性质。

ABSTRACT

In this thesis, we extend the definition of motivic homotopy theory from schemes to a large class of algebraic stacks and establish a six functor formalism. The class of algebraic stacks that we consider includes many interesting examples: quasi-separated algebraic spaces, local quotient stacks and moduli stacks of vector bundles. We use the language of ∞-categories developed by Lurie to extend the definition of motivic homotopy theory. Morever, we use the so-called 'enhanced operation map' due to Liu and Zheng to extend the six functor formalism from schemes to our class of algebraic stacks. We also prove that six functors satisfy properties like homotopy invariance, localization and purity.

研究动机与目标

• 将 motivic 稳定同伦范畴 SH⊗ 从概形扩展至一大类代数堆栈。
• 利用 ∞-范畴在代数堆栈上构造 SH⊗ 的六 functor 形式系统。
• 通过识别具有 Nisnevich 局部截面的光滑 atlas 类，解决动机同伦理论中非 étale 下降的问题。
• 证明关键性质——同伦不变性、局部化与纯性——在扩展的形式系统中成立。
• 为商堆栈提供与表示无关的 SH 构造，消除对驯服性假设的依赖。

提出的方法

• 利用 Lurie 的 ∞-范畴框架处理下降性与函子性，避免非函子性拓扑所引发的技术问题。
• 引入 (2,1)-范畴 Nis-locSt，即存在具有 Nisnevich 局部截面的 atlas 的代数堆栈。
• 应用 Liu 与 Zheng 的增强运算映射，将六函子从概形扩展至 Nis-locSt。
• 使用多重单纯集与多重铺砌单纯集来在 ∞-范畴设定中建模增强运算映射。
• 将 SH⊗_ext 构造为满足 Nisnevich 局部截面的光滑 atlas 的 Čech 神经的极限。
• 利用 ∞-范畴中的抽象下降理论证明下降性与函子性，确保构造与 atlas 选择无关。

实验结果

研究问题

• RQ1 动机同伦理论能否在保持六 functor 形式系统的同时，从概形扩展至一大类代数堆栈？
• RQ2 如何克服动机同伦理论中 étale 下降的失效，以定义代数堆栈上的 SH？
• RQ3 能否利用 ∞-范畴与增强运算，将六函子 f∗, f∗, f!, f!, ⊗ 与 Hom 扩展至代数堆栈？
• RQ4 扩展的形式系统是否满足同伦不变性、局部化与纯性等基本性质？
• RQ5 商堆栈的 SH 构造是否与表示选择无关，尤其在无驯服性假设下？

主要发现

• motivic 稳定同伦函子 SH⊗ 扩展为 ND•(Nis-locSt)op 上取值于 CAlg(PrL_stb) 的函子 SH⊗_ext。
• 扩展的形式系统满足结合性、投影公式与基变换同构。
• 同伦不变性成立：对 π: A1_X → X，有 π∗ 是全忠实的。
• 局部化成立：对开嵌入 i: U → X 与闭嵌入 j: Z → X，存在纤维列 j!j! → id → i∗i∗ 与 i!i! → id → j∗j∗。
• 纯性成立：对光滑、分离、有限型的 f: X → Y，存在自同构 Twf 使得 Twf ◦ f! ≅ f∗。
• 法丛的 Thom 空间满足 Th(Nf) ≅ 1Y(d)[2d] ⊗ −，从而 f#(−) ≅ f!(1X(d)[2d] ⊗ −)。