[论文解读] Motivic HyperK\"ahler Resolution Conjecture : I. Generalized Kummer varieties

Lie Fu, Zhiyu Tian+1 more|arXiv (Cornell University)|Aug 17, 2016

Algebraic structures and combinatorial models被引用 8

一句话总结

本文证明了广义Kummer流形与阿贝尔曲面的希尔伯特模形式的动机性超凯勒解析猜想，建立了超凯勒解析的查沃动机与相应商叠的轨道动机之间的同构关系。关键成果是这些流形具有乘法查沃–库恩斯分解，证实了贝阿维尔的猜想，并将沃辛的乘法分解定理推广至基空间的非空扎里斯基开子集上的广义Kummer流形的相对族。

ABSTRACT

Given a smooth projective variety $M$ endowed with a faithful action of a finite group $G$, following Jarvis-Kaufmann-Kimura and Fantechi-G\"ottsche, we define the orbifold motive (or Chen-Ruan motive) of the quotient stack $[M/G]$ as an algebra object in the category of Chow motives. Inspired by Ruan, one can formulate a motivic version of his Cohomological HyperK\"ahler Resolution Conjecture. We prove this motivic version, as well as its K-theoretic analogue conjectured by Jarvis-Kaufmann-Kimura, in two situations related to an abelian surface $A$ and a positive integer $n$. Case (A) concerns Hilbert schemes of points of $A$ : the Chow motive of $A^{[n]}$ is isomorphic as algebra objects, up to a suitable sign change, to the orbifold motive of the quotient stack $[A^{n}/\mathfrak{S}_{n}]$. Case (B) for generalized Kummer varieties : the Chow motive of the generalized Kummer variety $K_n(A)$ is isomorphic as algebra objects, up to a suitable sign change, to the orbifold motive of the quotient stack $[A_{0}^{n+1}/\mathfrak {S}_{n+1}]$, where $A_{0}^{n+1}$ is the kernel abelian variety of the summation map $A^{n+1} o A$. As a byproduct, we prove the original Cohomological HyperK\"ahler Resolution Conjecture for generalized Kummer varieties. As an application, we provide multiplicative Chow-K\"unneth decompositions for Hilbert schemes of abelian surfaces and for generalized Kummer varieties. In particular, we have a multiplicative direct sum decomposition of their Chow rings with rational coefficients, which is expected to be the splitting of the conjectural Bloch-Beilinson-Murre filtration. The existence of such a splitting for holomorphic symplectic varieties is conjectured by Beauville.

研究动机与目标

• 提出并证明关于全纯辛流形作为全局商轨道的辛解析的动机性罗安同调超凯勒解析猜想。
• 在符号扭转的意义下，建立广义Kummer流形 $K_n(A)$ 的查沃动机与 $[A^{n+1}_0 / S_{n+1}]$ 的轨道动机之间的查沃动机同构。
• 证明阿贝尔曲面的希尔伯特模形式与广义Kummer流形存在乘法查沃–库恩斯分解，支持贝阿维尔的分裂猜想。
• 将沃辛关于有理上同调的乘法分解定理推广至基空间的非空扎里斯基开子集上的广义Kummer流形的相对族。

提出的方法

• 将全局商叠 $[M/G]$ 的轨道动机定义为固定点的扭查沃动机的直和中在 $G$ 作用下的不变子代数，利用年龄移位与通过法丛陈类的轨道积。
• 通过上推、限制与障碍丛的上陈类构造 $\bigoplus_{g \in G} CH^{*-\text{age}(g)}(M_g)$ 上的轨道积 $\star_{\text{orb}}$。
• 使用上推与查沃理论中的函子性，在两种情况下证明动机性超凯勒解析猜想：(A) 希尔伯特模形式 $A^{[n]}$ 与 (B) 广义Kummer流形 $K_n(A)$。
• 应用沃辛关于对称性区分的循环的结果，证明 $K_n(A)$ 的陈类在相关对应下保持不变，确保与查沃–库恩斯投影算符的相容性。
• 利用乘法查沃–库恩斯分解的延拓性，将乘法分解定理推广至基空间的扎里斯基开子集上的相对族。
• 利用相对族的通用纤维具有乘法查沃–库恩斯分解的事实，在层的导出范畴中构造乘法分解。

实验结果

研究问题

• RQ1 广义Kummer流形作为全局商轨道的辛解析时，动机性超凯勒解析猜想是否成立？
• RQ2 广义Kummer流形 $K_n(A)$ 的查沃动机是否作为复系数查沃动机范畴中的交换代数对象，与 $[A^{n+1}_0 / S_{n+1}]$ 的轨道动机同构（至多相差一个符号扭转）？
• RQ3 阿贝尔曲面的希尔伯特模形式与广义Kummer流形是否如贝阿维尔分裂猜想所预测的那样，具有乘法查沃–库恩斯分解？
• RQ4 在基空间的非空扎里斯基开子集上，相对广义Kummer流形的有理上同调是否存在乘法分解？
• RQ5 相对广义Kummer流形族的有理上同调的乘法结构是否在导出分解定理下保持不变？

主要发现

• 广义Kummer流形 $K_n(A)$ 的查沃动机作为复系数查沃动机范畴中的交换代数对象，与 $[A^{n+1}_0 / S_{n+1}]$ 的轨道动机同构（至多相差一个符号扭转）。
• 希尔伯特模形式 $A^{[n]}$ 的查沃动机与 $[A^n / S_n]$ 的轨道动机同构，确认了情况 (A) 下的动机性超凯勒解析猜想。
• 广义Kummer流形 $K_n(A)$ 具有乘法查沃–库恩斯分解，为其有理系数查沃环提供了乘法直和分解。
• 作为动机性结果的副产品，原始的同调超凯勒解析猜想对广义Kummer流形已得证。
• 对任意光滑的阿贝尔曲面族 $\pi: A \to B$，存在一个非空扎里斯基开子集 $U \subset B$，使得相对广义Kummer流形 $\pi|_U: K_n(A)|_U \to U$ 在导出范畴中具有有理上同调的乘法分解。
• 在对称群作用的每个固定点分支上，$K_n(A)$ 的陈类均为对称性区分的，确保与查沃–库恩斯投影算符的相容性。