[论文解读] Motivic Poisson summation

Ehud Hrushovski, David Kazhdan|ArXiv.org|Feb 5, 2009

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 2被引用 6

一句话总结

本文为函数域构造了 motivic 版本的泊松求和公式，利用可定义指数和的格罗滕迪克环中的 motivic 积分。它在两个同构的、在函数域上具有素数阶的除环上，建立了关于共轭不变测试函数的傅里叶变换之间的对应关系，证明了其 motivic 傅里叶变换在格罗滕迪克环的局部化下等价，从而将经典结果推广至 motivic 设置。

ABSTRACT

We develop a "motivic integration" version of the Poisson summation formula for function fields, with values in the Grothendieck ring of definable exponential sums. We also study division algebras over the function field, and obtain relations among the motivic Fourier transforms of a test function at different completions. We use these to prove, in a special case, a motivic version of a theorem of Deligne-Kazhdan-Vigneras.

研究动机与目标

• 将经典的泊松求和公式推广至函数域的 motivic 设置。
• 研究函数域上除环上测试函数的 motivic 傅里叶变换。
• 在同构的除环上建立匹配测试函数的 motivic 傅里叶变换之间的对应关系。
• 通过广义雅可比簇等全局几何结构，关联不同完备化上的 motivic 积分。
• 证明 motivic 卷积与傅里叶变换结构在除环同构下保持不变。

提出的方法

• 在可定义指数和的格罗滕迪克环 $\mathop{\operatorname{K}}_e$ 中使用 motivic 积分。
• 引入局部化 $\mathop{\operatorname{K}}_e[Gr^{-1}]$ 以允许对群簇类进行除法。
• 对除环乘法群作用下不变的测试函数应用 motivic 傅里叶变换。
• 定义 motivic 全局测试函数与一个 motivic delta 函数 $\delta^K$，其在函数域的有理点上求和。
• 利用阿代尔商定义非可表示的 Picard 覆叠（如无有理点的曲线的 $Pic^0(C)$）的 motivic 类。
• 使用李多项式构造与指数映射，关联 $M_n/M_n^k$ 和 $1+M_n/1+M_n^k$ 上的加法与乘法卷积结构。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否在 motivic 设置下为函数域表述泊松求和公式，以格罗滕迪克环中的类替代数值？
• RQ2 在同构的素数阶除环上，共轭不变测试函数的 motivic 傅里叶变换之间有何关系？
• RQ3 在何种程度上，不同局部完备化上的 motivic 积分可通过广义雅可比簇等全局几何不变量相关联？
• RQ4 加法与乘法卷积代数之间的轨道方法同构能否推广至 motivic 设置？
• RQ5 可定义商与群作用在构造非可表示 Picard 覆叠的 motivic 类中起何作用？

主要发现

• 在局部化格罗滕迪克环 $\mathop{\operatorname{K}}_e[Gr^{-1}]$ 中，两个同构的、在 $\mathfrak{f}(t)$ 上具有素数阶的除环 $D$ 与 $\dot{D}$ 上匹配局部测试函数的 motivic 傅里叶变换被证明是匹配的。
• motivic delta 函数 $\delta^K(O_c)$ 在一个整数共轭类 $O_c$ 上的取值与中心化曲线 $C$ 的广义雅可比簇相关，且 $Pic^0(C)$ 的 motivic 类通过阿代尔商被良好定义。
• 指数映射在除环 $D^*$-不变函数的加法群 $A_n = M_1/M_n$ 与乘法群 $G_n = (1+M_1)/(1+M_n)$ 之间诱导出 motivic 同构，且保持卷积结构。
• 证明依赖于诱导加法与乘法卷积方程解集之间双射的 Lie 多项式自同构 $H$，确保在格罗滕迪克环中类相等。
• 该构造在基变换下稳定，并在所有域上统一成立，即使当 $C(\mathfrak{f})$ 无有理点时，也通过将 $Pic^0(C)$ 视为阿代尔商来处理。
• 该方法推广了关于除环与 $GL_n$ 之间表示对应的经典结果，表明 motivic 卷积代数在轨道方法下于 motivic 范畴中同构。