[论文解读] Motivic structures in non-commutative geometry

D. Kaledin|arXiv (Cornell University)|Mar 16, 2010

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 4被引用 21

一句话总结

本文提出代数几何中动机与霍奇理论结构的非交换推广，将德拉姆上同调与周期循环同调扩展至包含ℚ的域上的光滑、完备DG代数。它猜想存在一个与周期性相容的上同调映射，从半拓扑K-理论到周期循环同调，这意味着当基变换到ℂ时，周期循环同调将获得一个纯霍奇结构。

ABSTRACT

We review some recent results and conjectures saying that, roughly speaking, periodic cyclic homology of a smooth non-commutative algebraic variety should carry all the additional "motivic" structures possessed by the usual de Rham cohomology of a smooth algebraic variety (specifically, an R-Hodge structure for varieties over R, and a filtered Dieudonne module structure for varieties over Z_p). To appear in Proc. ICM 2010.

研究动机与目标

• 将此前仅定义于光滑射影概形的动机与霍奇理论结构，通过周期循环同调推广至非交换设定。
• 制定贝林森上同调映射的非交换类比，将半拓扑K-理论与周期循环同调联系起来。
• 确立在ℂ上，光滑、完备DG代数的周期循环同调携带一个典范的纯霍奇结构，其权重为i，推广经典霍奇理论。
• 通过循环迹映射与稳定同伦理论，统一非交换代数几何中的代数K-理论、循环同调与动机上同调。
• 通过过滤的迪厄东内模与拓扑循环同调，提供在非交换语境中实现动机上同调的框架，尤其在p进与复数情形。

提出的方法

• 使用包含ℚ的域k上的DG代数框架，将经典代数几何推广至非交换设定。
• 应用从半拓扑K-理论到周期循环同调的循环迹映射，利用拓扑循环同调与循环复形。
• 在HP•(A•)上引入周期性映射u，以关联K-st•(A•)中β的作用与周期结构。
• 通过基变换到ℂ，为周期循环同调配备实结构，利用同构K-st•(A•)⊗k[β,β⁻¹] ≅ HP•(A•)。
• 对所得实结构与标准霍奇滤过应用霍奇理论，以定义权重为i的纯霍奇结构。
• 依赖Fiedlander与Walker关于光滑射影概形的半拓扑K-理论的已知结果，为猜想提供证据。

实验结果

研究问题

• RQ1 能否通过周期循环同调将德拉姆上同调中的动机与霍奇理论结构推广至非交换代数概形？
• RQ2 在非交换设定中，是否存在一个从半拓扑K-理论到周期循环同调的上同调映射，且满足周期性相容性？
• RQ3 在何种条件下，ℂ上光滑、完备DG代数的周期循环同调携带一个典范的权重为i的纯霍奇结构？
• RQ4 循环迹映射与拓扑循环同调如何与非交换几何中的动机上同调及代数K-理论相关联？
• RQ5 这些猜想在多大程度上将经典贝林森与戴霓猜想推广至非交换DG代数？

主要发现

• 猜想8.6提出K-st•(A•)⊗ℤ[β,β⁻¹]与HP•(A•)之间存在与周期性相容的同构，意味着周期循环同调继承K-理论的代数结构。
• 对于ℂ上光滑、完备DG代数A•，周期循环同调HP•(A•)通过基变换获得一个典范的实结构，且与β的作用相容。
• 猜想8.7断言HP•(A•)上的实结构与标准霍奇滤过F•构成一个权重为i的纯霍奇结构。
• 这些猜想得到Fiedlander与Walker工作的支持，他们证明了当DG代数与k上光滑射影概形拟同构时，同构成立。
• 这些猜想细化了Toën、Bondal、Neeman等人的早期工作，目前正由Toën与Blanc进一步研究。
• 该框架暗示了贝林森上同调的非交换类比，其中循环迹映射在连接K-理论与上同调中起核心作用。