[论文解读] Motivically functorial coniveau spectral sequences; direct summands of cohomology of function fields

Mikhail V. Bondarko|arXiv (Cornell University)|Dec 15, 2008

Homotopy and Cohomology in Algebraic Topology被引用 19

一句话总结

本文通过在一类余动机范畴上引入Gersten权结构，建立了任意动机上同调的动机性函子性逐层谱序列，推广了Bloch与Ogus的经典结果。证明了光滑半局部概形及函数域的上同调是其一般点上同调的直和项，通过Voevodsky的动机与权结构，将函子性推广至所有可通过动机分解的上同调理论。

ABSTRACT

We construct a 'triangulated analogue' of coniveau spectral sequences: the motif of a variety over a countable field is 'decomposed' (in the sense of Postnikov towers) into the twisted (co)motives of its points; this is generalized to arbitrary Voevodsky's motives. To this end we construct a 'Gersten' weight structure for a certain triangulated category of 'comotives': the latter is defined to contain comotives for all projective limits of smooth varieties; the definition of a weight structure was introduced in a preceding paper. The corresponding weight spectral sequences are essentially coniveau one; they are $DM^{eff}_{gm}$-functorial (starting from $E_2$) and can be computed in terms of the homotopy $t$-structure for the category $DM^-_{eff}$ (similarly to the case of smooth varieties). This extends to motives the seminal coniveau spectral sequence computations of Bloch and Ogus. We also obtain that the cohomology of a smooth semi-local scheme is a direct summand of the cohomology of its generic fibre; cohomology of function fields contain twisted cohomology of their residue fields (for all geometric valuations). We also develop further the general theory of weight structures for triangulated categories (independently from the 'motivic' part of the paper). Besides, we develop a certain theory of 'nice' pairings of triangulated categories; this subject seems to be new.

研究动机与目标

• 构建收敛于任意动机上同调的动机性函子性逐层谱序列。
• 通过$DM^{eff}_{gm}$中表示对象的$t$-截断，将经典Bloch-Ogus对$E_2$-项的计算推广至所有动机。
• 确立光滑连通半局部概形及函数域的上同调是其一般点上同调的直和项。
• 为三角范畴中的权结构与对偶性发展形式系统，以应用于动机同伦论。
• 通过直和项分解阐明上同调中单射性结果的同调本质。

提出的方法

• 在包含$DM^{eff}_{gm}$及函数域余动机的余动机范畴上构造Gersten权结构。
• 利用Postnikov塔与虚拟$t$-截断，将权谱序列与$t$-结构上同调关联。
• 应用权结构的形式系统，证明光滑连通半局部概形的上同调是其一般点上同调的直和项。
• 确立函数域的余动机通过其剩余域的扭曲余动机，利用对概形的Gysin示性三角形。
• 为三角范畴发展对偶理论，引入‘良好对偶’作为不同范畴之间的配对。
• 使用同伦极限与导出函子，将结果扩展至不可数基域，但对高阶导出函子$\varprojlim^j$的控制存在限制。

实验结果

研究问题

• RQ1 任意动机上同调的逐层谱序列能否实现动机性函子性？
• RQ2 为何半局部概形的上同调群可嵌入其一般点的上同调中？
• RQ3 权结构如何被用于将经典逐层谱序列推广至光滑概形之外？
• RQ4 余动机与概形在捕捉函数域及其剩余域上同调结构中起何作用？
• RQ5 这些结果在多大程度上可推广至不可数基域？存在何种障碍？

主要发现

• 当基域$k$为可数时，光滑连通半局部概形的上同调是其一般点上同调的直和项。
• 函数域的上同调包含其任意剩余域的扭曲上同调作为直和项。
• 任意动机上同调的逐层谱序列通过$DM^{eff}_{-}$中表示对象的$t$-截断描述，推广了Bloch与Ogus的结果。
• 在余动机范畴上构造了Gersten权结构，该结构推广了经典逐层滤子。
• 权结构与对偶性的形式系统使得动机上同调中函子性与谱序列的系统研究成为可能。
• 对于不可数$k$，论证因不可数同伦极限及对高阶导出函子$\varprojlim^j$的控制不足而失效，导致此情形下直和项结果尚未得证。