[论文解读] Movable intersection and bigness criterion

Jian Xiao|arXiv (Cornell University)|May 7, 2014

Algebraic Geometry and Number Theory参考文献 25被引用 8

一句话总结

本文通过可移动交积，建立了一类用于紧凯勒流形上两个伪有效 $(1,1)$-类之差的莫尔斯型大数准则。证明了若对伪有效 $α$ 与可移动 $β$，有 $ν(α) - n\langleα^{n-1}\rangle \cdot β > 0$，则 $α - β$ 包含一个凯勒当前，从而将经典的代数莫尔斯不等式推广至超越与可移动情形。

ABSTRACT

In this note, we give a Morse-type bigness criterion for the difference of two pseudo-effective $(1,1)$-classes by using movable intersections. As an application, we give a Morse-type bigness criterion for the difference of two movable $(n-1,n-1)$-classes.

研究动机与目标

• 将线丛的代数莫尔斯不等式推广至紧凯勒流形上的伪有效 $(1,1)$-类。
• 研究不等式 $\operatorname{vol}(\alpha) - n\langle\alpha^{n-1}\rangle \cdot \beta > 0$ 是否蕴含当 $α$ 为伪有效、$β$ 为可移动时，$α - \beta$ 中存在凯勒当前。
• 利用凯勒锥与可移动锥之间的对偶性，为两个可移动 $(n-1,n-1)$-类之差建立莫尔斯型大数准则。
• 澄清杜梅尔比关于超越莫尔斯不等式的猜想与 $(1,1)$-类上体积函数的 $\mathcal{C}^1$-可微性之间的等价性。

提出的方法

• 利用在 [Bou02a, BDPP13] 中发展的伪有效 $(1,1)$-类的可移动交积 $\langle \cdot \rangle$。
• 应用波波维奇建立的超越莫尔斯不等式中的改进常数 $n$，将结果从 nef 类推广至伪有效类。
• 运用凯勒锥闭包 $\overline{\mathcal{K}}^\vee = \mathcal{N}$ 与 $(n-1,n-1)$-当前的可移动锥之间的对偶性。
• 通过涉及测试类 $N_\epsilon \in \overline{\mathcal{K}}$ 的反证法，证明 $\langle\alpha^{n-1}\rangle - \langle\beta^{n-1}\rangle$ 必须包含一个正当前。
• 依赖于体积函数的 $\mathcal{C}^1$-可微性，该性质在 [BFJ09] 中已证明，从而导出关键不等式 $\left.\frac{d}{dt}\right|_{t=0}\operatorname{vol}(\alpha + t\gamma) = n\langle\alpha^{n-1}\rangle \cdot \gamma$。
• 在奇异莫尔斯不等式框架下，应用不等式 $\mathbf{1}_{X(\alpha-\beta,\leq 1)}(\alpha-\beta)^n \geq \alpha^n - n\alpha^{n-1} \wedge \beta$，其中 $α, \beta$ 为正的 $(1,1)$-形式。

实验结果

研究问题

• RQ1 不等式 $\operatorname{vol}(\alpha) - n\langle\alpha^{n-1}\rangle \cdot \beta > 0$ 是否蕴含当 $α$ 为伪有效、$β$ 为可移动时，$α - \beta$ 中存在凯勒当前？
• RQ2 经典的线丛代数莫尔斯不等式能否推广至伪有效线丛与可移动类的情形？
• RQ3 杜梅尔比关于超越莫尔斯不等式的猜想是否与 $(1,1)$-类上体积函数的 $\mathcal{C}^1$-可微性等价？
• RQ4 通过凯勒锥与可移动锥的对偶性，大数准则是否可推广至两个可移动 $(n-1,n-1)$-类之差的情形？

主要发现

• 当 $α$ 为伪有效、$β$ 为可移动时，不等式 $\operatorname{vol}(\alpha) - n\langle\alpha^{n-1}\rangle \cdot \beta > 0$ 蕴含 $α - \beta$ 中存在凯勒当前。
• 该结果推广了 [Bou02b, Theorem 4.7] 与 [DP04, Theorem 0.5] 至伪有效与可移动类的情形。
• 本文证明了对伪有效线丛 $L$ 与可移动线丛 $M$，有 $\operatorname{vol}(L - M) \geq \operatorname{vol}(L) - n\langle L^{n-1}\rangle \cdot M$。
• 建立了两个可移动 $(n-1,n-1)$-类之差的莫尔斯型大数准则：若 $\langle\alpha^n\rangle - n\alpha \cdot \langle\beta^{n-1}\rangle > 0$，则 $\langle\alpha^{n-1}\rangle - \langle\beta^{n-1}\rangle$ 包含一个严格正当前。
• 通过推导出的不等式，确认了杜梅尔比猜想与体积函数 $\mathcal{C}^1$-可微性之间的等价性。
• 在杜梅尔比猜想成立的前提下，该结果可推广至紧超凯勒流形，因为可移动 $(n-1,n-1)$-类可表示为大且可移动的 $L$ 的 $\langle L^{n-1}\rangle$ 形式。