[论文解读] Moving sum data segmentation for stochastics processes based on invariance

Claudia Kirch, Philipp Klein|arXiv (Cornell University)|Jan 12, 2021

Advanced Statistical Process Monitoring参考文献 43被引用 4

一句话总结

本文提出了一种多变量移动和（MOSUM）数据分割方法，用于具有漂移变化的 regime-switching 随机过程，利用强不变性原理实现极小极大最优的一致性和定位速率。该方法将先前的单变量和单带宽方法扩展至处理多变量部分和、扩散过程与更新过程——即使变化点间距为次线性——并提供了估计器一致性与收敛速率的理论保证。

ABSTRACT

The segmentation of data into stationary stretches also known as multiple change point problem is important for many applications in time series analysis as well as signal processing. Based on strong invariance principles, we analyse data segmentation methodology using moving sum (MOSUM) statistics for a class of regime-switching multivariate processes where each switch results in a change in the drift. In particular, this framework includes the data segmentation of multivariate partial sum, integrated diffusion and renewal processes even if the distance between change points is sublinear. We study the asymptotic behaviour of the corresponding change point estimators, show consistency and derive the corresponding localisation rates which are minimax optimal in a variety of situations including an unbounded number of changes in Wiener processes with drift. Furthermore, we derive the limit distribution of the change point estimators for local changes - a result that can in principle be used to derive confidence intervals for the change points.

研究动机与目标

• 填补多变量随机过程中的多变化点检测研究空白，超越单变量均值漂移的范畴。
• 将基于 MOSUM 的分割方法扩展至多变量过程，包括部分和、扩散过程与更新过程。
• 在变化点间距为次线性的情况下，建立变化点估计器的一致性与极小极大最优定位速率。
• 为两步 MOSUM 方法和多尺度变化点检测提供理论基础。
• 推导局部变化点估计器的极限分布，以支持置信区间的构建。

提出的方法

• 形式化一个 regime-switching 多变量过程模型，其中每个 regime 切换都会引起漂移变化。
• 利用强不变性原理，在适当的概率测度下将过程近似为布朗运动。
• 将 MOSUM 统计量定义为固定或次线性带宽滑动窗口上的移动和，以检测结构断裂。
• 通过 MOSUM 统计量的局部极大值构造变化点估计器，并采用阈值化方法避免虚假检测。
• 使用对角线方差估计以提高有限样本中的信噪比，尤其在高维设置下表现更优。
• 通过基于最小值的聚合方法引入多尺度带宽选择，以在不同尺度上检测变化，特别适用于异质信号。

实验结果

研究问题

• RQ1 MOSUM 基于的分割方法能否扩展至具有多个、可能无界的多个变化点的多变量随机过程？
• RQ2 在一般 regime-switching 多变量模型下，MOSUM 估计器的一致性和定位速率为何？
• RQ3 当变化点之间的距离呈次线性增长时，MOSUM 估计器的理论性质如何表现？
• RQ4 能否为局部变化推导出变化点估计器的极限分布，从而支持置信区间的构建？
• RQ5 带宽选择与方差估计对有限样本中检测功效与估计器精度有何影响？

主要发现

• 所提出的 MOSUM 方法在有界与无界变化点情形下，均实现了变化点估计器的极小极大最优定位速率，包括带漂移的维纳过程。
• 在变化点数量随样本大小增加的条件下，也建立了变化点估计器的一致性，条件具有普遍性。
• 模拟结果表明，该方法性能良好，检测功效高，虚假与重复估计率低，尤其在采用局部对角线方差估计时表现更优。
• 使用完整的渐近协方差矩阵时表现出次优性能，凸显了在高维或中等样本设置下对角线方差估计的优势。
• 多尺度变化点检测需要多个带宽，因为单一带宽无法检测异质信号中的所有变化，验证了多尺度扩展的必要性。
• 理论结果支持在假设检验与推断中使用 MOSUM 统计量，包括为局部变化点估计器推导极限分布。