[论文解读] Moving the CFT into the bulk with $T\bar T$

Lauren McGough, Márk Mezei+1 more|arXiv (Cornell University)|Nov 10, 2016

Black Holes and Theoretical Physics参考文献 29被引用 64

一句话总结

本文提出，二维共形场论（2D CFT）的$T\bar{T}$形变对应于AdS$_3$引力中的几何截断，将边界CFT置于有限径向壁面$r = r_c$处，其中$\mu = 16\pi G / r_c^2$。通过在信号传播速度、能谱、热力学以及引力作用的哈密顿-雅可比方程上实现精确匹配，验证了该对偶性，建立了形变CFT与具有有限截断的体引力之间精确的全息对应关系。

ABSTRACT

Recent work by Zamolodchikov and others has uncovered a solvable irrelevant deformation of general 2D CFTs, defined by turning on the dimension 4 operator $T \bar T$, the product of the left- and right-moving stress tensor. We propose that in the holographic dual, this deformation represents a geometric cutoff that removes the asymptotic region of AdS and places the QFT on a Dirichlet wall at finite radial distance $r = r_c$ in the bulk. As a quantitative check of the proposed duality, we compute the signal propagation speed, energy spectrum, and thermodynamic relations on both sides. In all cases, we obtain a precise match. We derive an exact RG flow equation for the metric dependence of the effective action of the $T \bar T$ deformed theory, and find that it coincides with the Hamilton-Jacobi equation that governs the radial evolution of the classical gravity action in AdS.

研究动机与目标

• 通过研究缺乏紫外固定点但保持可解的$T\bar{T}$-形变CFT，将全息性扩展至非紫外完备的CFT。
• 探究二维CFT中的$T\bar{T}$形变是否在具有有限径向截断的AdS$_3$引力中具有对偶描述。
• 通过比较两侧的关键物理可观测量——信号传播速度、能谱、热力学及有效作用量——来检验所提出的对偶性。
• 推导形变CFT的精确运行变换（RG）方程，并证明其与具有有限截断区域的体引力中经典作用量的哈密顿-雅可比方程等价。

提出的方法

• 提出$T\bar{T}$形变对应于在AdS$_3$中将量子场论置于有限径向距离$r = r_c$处的狄利克雷壁面，其中$\mu = 16\pi G / r_c^2$。
• 利用量子场论、热力学与引力方法计算形变CFT中的信号传播速度，发现三者结果完全一致。
• 推导$T\bar{T}$-形变理论中有效作用量对度规依赖性的精确运行变换（RG）方程。
• 证明该RG方程与在$r = r_c$处具有有限截断的体引力中经典引力作用量的径向演化所满足的哈密顿-雅可比方程一致。
• 利用WDW（惠勒-德维特）形式化与哈伯德-斯特拉托诺维奇对偶性推导有效作用量，并确认其与引力理论的一致性。
• 分析一般背景，包括具有平坦狄利克雷壁面的巴尼奥斯型几何，以推广信号传播速度的结果。

实验结果

研究问题

• RQ1 二维CFT的$T\bar{T}$形变是否在具有有限径向截断的AdS$_3$引力中具有对偶描述？
• RQ2 形变CFT中的信号传播速度能否通过量子场论与引力计算重现，并且两者是否一致？
• RQ3 形变CFT的$T\bar{T}$-形变理论的精确运行变换（RG）方程是否与有限体区域中经典引力的哈密顿-雅可比方程等价？
• RQ4 形变CFT的热力学行为是否与具有截断的体引力热力学精确匹配？
• RQ5 在$r = r_c$处的狄利克雷壁面在全息对偶中如何编码$T\bar{T}$形变？

主要发现

• 在$T\bar{T}$-形变CFT中，信号传播速度与在$r = r_c$处具有有限截断的体引力中推导出的速度完全一致。
• 通过齐莫洛奇科夫方程计算的形变CFT能谱，与在有限区域$r < r_c$上通过经典作用量从引力侧获得的谱精确匹配。
• 形变CFT的热力学关系（包括状态方程）被在$r_c$处具有狄利克雷壁面的体引力作用量精确再现。
• 形变CFT有效作用量的精确运行变换（RG）方程与AdS$_3$中具有有限截断的体引力经典作用量的径向演化所满足的哈密顿-雅可比方程完全一致。
• 形变CFT的配分函数为$Z_{\text{QFT}} = \exp\left(-\frac{1}{16\pi G} S_{\text{cl}}(r_c^2 g_{\alpha\beta})\right)$，与在$r = r_c$处具有狄利克雷边界条件的引力路径积分完全匹配。
• 在一般背景下，由引力推导出的传播速度$v_\pm = 1 - \epsilon B'(x^-), 1 - \epsilon A'(x^+)$与应力-能量张量期望值$\langle T_{\pm\pm} \rangle \propto -\epsilon A'(x^+), -\epsilon B'(x^-)$一致，证实了与CFT侧的一致性。