[论文解读] Moving Vertices to Make Drawings Plane

Xavier Goaoc, Jan Kratochvı́l+3 more|ArXiv.org|Jun 7, 2007

Computational Geometry and Mesh Generation参考文献 12被引用 4

一句话总结

本文研究了通过最少数量的顶点重定位，将平面图的非平面直线图转化为平面图的问题。证明了计算和近似此最小数量（称为 shift(G,δ)）是 NP-难的，并为树和一般平面图提供了理论界，还将该难解性结果扩展至 1BendPointSetEmbeddability 问题。

ABSTRACT

A straight-line drawing $δ$ of a planar graph $G$ need not be plane, but can be made so by moving some of the vertices. Let shift$(G,δ)$ denote the minimum number of vertices that need to be moved to turn $δ$ into a plane drawing of $G$. We show that shift$(G,δ)$ is NP-hard to compute and to approximate, and we give explicit bounds on shift$(G,δ)$ when $G$ is a tree or a general planar graph. Our hardness results extend to 1BendPointSetEmbeddability, a well-known graph-drawing problem.

研究动机与目标

• 确定将平面图的非平面直线图转化为平面图所需移动的最少顶点数。
• 分析计算和近似该最小数量（称为 shift(G,δ)）的计算复杂性。
• 为特定图类（尤其是树和一般平面图）建立 shift(G,δ) 的显式边界。
• 将该难解性结果扩展至 1BendPointSetEmbeddability 问题，该问题是图绘制领域的一个经典问题。

提出的方法

• 将问题形式化为 shift(G,δ)，定义为为实现平面直线图而需移动的最少顶点数。
• 通过将已知的 NP-难问题归约至 shift(G,δ)，证明其在计算和近似方面均为 NP-难。
• 利用图的结构属性，推导出树和一般平面图的 shift(G,δ) 的理论上下界。
• 通过归约将难解性结果扩展至 1BendPointSetEmbeddability 问题，表明其具有类似的计算不可解性。

实验结果

研究问题

• RQ1 计算使给定平面图的直线图变为平面图所需最少顶点移动数的计算复杂性是什么？
• RQ2 是否可以高效地近似最少顶点移动数（shift(G,δ)），其近似阈值是多少？
• RQ3 当 G 为树或一般平面图时，shift(G,δ) 的紧边界是什么？
• RQ4 计算 shift(G,δ) 的难解性是否可扩展至其他相关图绘制问题，例如 1BendPointSetEmbeddability？

主要发现

• 计算 shift(G,δ) 是 NP-难的，这意味着除非 P = NP，否则不存在多项式时间算法能精确求解。
• 近似 shift(G,δ) 同样是 NP-难的，表明即使寻找接近最优的解在计算上也是不可行的。
• 对于树，shift(G,δ) 受原始图中边交叉数的常数倍所限制。
• 对于一般平面图，shift(G,δ) 受交叉数和图结构参数的限制。
• shift(G,δ) 的难解性可扩展至 1BendPointSetEmbeddability 问题，从而也确立了该问题的 NP-难性。